Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 68 - 15.

Ache a superfície de ponto P = ( x , y , z ) tais que a distância de P ao ponto ( 0,0 , 1 ) é a mesma do que a de P ao plano y = - 1 .Identifique a superfície.

Passo 1

O problema não fala diretamente em quádricas nessa questão. Bom, primeiramente vamos encontrar a distância de P = ( x , y , z ) ao ponto ( 0,0 , 1 ) . Chamando essa distância de D temos:

D = x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perceba que a distância do ponto P = ( x , y , z ) ao plano y = - 1 é compreendida como sendo a menor distância entre o ponto P e o ponto mais próximo a ele, pertencente ao plano.

Ou seja, é a projeção do ponto P no plano y = - 1 . Vamos chamar essa projeção do ponto P no plano y = - 1 de P ' .Perceba que P ' = ( x , - 1 , z ) . Geometricamente temos:

d 2 = x , y , z - x , - 1 , z 2 = 0 + y + 1 2 + 0 = y + 1 2

d = y + 1

Passo 3

Como D = d temos:

x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2 = ( y + 1 )

x 2 + y 2 + z - 1 2 = y + 1 2

x 2 + z - 1 2 = 2 y + 1

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

Que é a equação do paraboloide Elíptico

Resposta

Parabolóide Elíptico com equação:

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

P = ( x , y , z )

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