Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.2, Questão 1-1

Considere as duas superfícies dadas por 2 x + 2 y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 + z .

1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.

Passo 1

Vamos focar na primeira superfície, beleza?

Ela é dada por

2 x + 2 y + z = 1

então temos algo do tipo

a x + b y + c z = d

portanto, essa superfície é um plano :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ter esboçar a figura, mostrando suas interseções com os planos coordenados. Então vamos pôr a mão na massa!

Vamos zerar uma a uma as coordenadas x , y e z e assim determinar como o nosso plano intercepta os planos y z , x z e x y , respectivamente. Vamos fazer um desenho e ir completando aos poucos, beleza? Então partiu!

Fazendo x = 0 vamos ter a reta

2 y + z = 1

z = 0 y = 1 2   e y = 0   z = 1

Então, no plano y z , a reta passa pelos pontos 0 , 1 2 , 0 e 0,0 , 1 .

Passo 3

Fazendo y = 0 temos a reta

2 x + z = 1

z = 0 x = 1 2   e x = 0   z = 1

Ou seja, a reta passa pelos pontos 1 2 , 0,0 e 0,0 , 1 .

Passo 4

Fazendo z = 0 temos:

2 x + 2 y = 1

x = 0 y = 1 2 e y = 0 x = 1 2

Então a reta passa pelos pontos 1 2 , 0,0 e 0 ,   1 2 , 0 . Vamos completar de novo o desenho:

Passo 5

Então esse triângulo daí é composto pelas retas de interseção do nosso plano com os planos coordenados Ele vai ser a base do esboço do plano:

Desse ângulo dá pra ter uma visão melhor:

Passo 6

Ainda temos a outra superfície!

A equação dela é:

x 2 + y 2 = 1 + z

Isolando o z fica:

z = x 2 + y 2 - 1

Identificamos uma superfície do tipo

z = ± x 2 a 2 ± y 2 b 2 + k

que nada mais é que a equação de um paraboloide!

  • Os dois sinais são iguais, então a superfície é um paraboloide elíptico.
  • Como a = b , vai ser mais precisamente um paraboloide circular.
  • Os sinais são positivos, então ele vai ser virado pra cima.
  • O valor mínimo de x 2 e y 2 é 0 , então o mínimo absoluto e vértice do paraboloide é no ponto 0,0 , 0 2 + 0 2 - 1 = 0,0 , - 1 .

Excelente! Já da pra ter uma boa noção da figura :D

Passo 7

Agora vamos determinar as curvas de interseção do paraboloide com os planos coordenados:

- No plano y z x = 0 , temos

z = y 2 - 1

que é uma parábola voltada para cima e com mínimo em 0,0 , - 1 .

- No plano x z y = 0 , a equação fica

z = x 2 - 1

que é exatamente a mesma parábola do item anterior, só passando do plano y z pro plano x z .

- No plano x y z = 0 , temos

x 2 + y 2 = 1

que é um círculo de raio 1 centrado em ( 0,0 , 0 ) .

Passo 8

Juntando tudo, obtemos o nosso paraboloide!

Resposta

1.

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