Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON, 2008, pp. 218 - 65

Esboce o gráfico da quádrica a seguir:

z = - ( x 2 + y 2 )

Passo 1

A quádrica apresentada no enunciado é um paraboloide elíptico, pois do lado esquerdo da equação tem uma variável “isolada” de grau 1 e do lado direito tem variáveis de grau 2 com sinais iguais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer os traços:

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • 0 = - ( x 2 + y 2 )

    Temos o ponto ( 0,0 , 0 )

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • z = - x 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :
  • z = - y 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

    Passo 4

    Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.

    Interseções:

  • Plano z = k
  • k = - ( x 2 + y 2 )

    Se k = 0 temos o ponto 0,0 , 0

    Se k 0 temos:

    1 = - x 2 + y 2 k

    Se k > 0 a equação acima é impossível. Logo não há interseção.

    Se k < 0 então a equação acima é um círculo.

    São elipses para k < 0

  • Plano y = k
  • z = - ( x 2 + k 2 )

    São Parábolas para k R  

  • Plano x = k

z = - ( k 2 + y 2 )

São Parábolas para k R  

Passo 3

Plote os traços que encontramos. Como as interseções da quádrica com eixos paralelos ao eixo z são elipses, para k < 0 , desenhe uma elipse na parte mais negativa do eixo z para demonstrar isso. O esboço fica:

Resposta

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