Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.1, Questão E7

Seja S o conjunto de pontos P em R 3 tal que a distância de P ao ponto ( 1,1 , 1 ) é a mesma que a distância de P ao plano z = 3 . Então S é:

  1. Não existe superfície S
  2. O cone x - 1 2 + y - 1 2 = z - 3 2
  3. O hiperboloide x - 1 2 + y - 1 2 - z - 3 2 = 3
  4. A esfera x - 1 2 + y - 1 2 + z - 3 2 = 3
  5. O paraboloide x - 1 2 + y - 1 2 + 4 z = 8

Passo 1

O que a questão tá dizendo pra gente é que os pontos ( x , y , z ) da nossa superfície tem a mesma distância tanto do ponto ( 1,1 , 1 ) quanto do plano z = 3 .

A distância entre dois pontos é dada por:

d 1 = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Assim, a distância entre ( x , y , z ) ao ponto ( 1,1 , 1 ) é

d 1 = x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2

d 1 2 = x - 1 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2

A distância do ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano a x + b y + c z = d é dada por:

d 2 = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Assim, a distância entre ( x , y , z ) ao plano z = 3 é:

d 2 = 0 + 0 + 1 . z + 3 0 2 + 0 2 + 1 2

d 2 = z - 3 2 1

d 2 = z 2 - 6 z + 9

d 2 2 = z 2 - 6 z + 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas ai a questão disse que essas duas distâncias que a gente acabou de encontrar tem que ser iguais. Assim:

d 1 2 = d 2 2

x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = z 2 - 6 z + 9

x - 1 2 + ( y - 1 ) 2 + z 2 - 2 z + 1 - z 2 + 6 z - 9 = 0

x - 1 2 + ( y - 1 ) 2 + 4 z = 8

Que é a equação de um paraboloide elíptico

Resposta

L e t r a   e

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