Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2019.1, Questão 6

Seja S a superfície de equação x 2 - y 2 + 4 y + z = 4 . Considere as afirmativas:

  1. É um paraboloide hiperbólico e sua equação padrão é x 2 - y - 2 2 + z = 0 .
  2. É um hiperboloide de uma folha e sua equação padrão é x 2 - y - 2 2 + z = 0 .
  3. Seu gráfico é:

Assinale a opção correta, onde V é verdadeiro e F é falso:

  1. Nenhuma das demais respostas
  2. (I)F, (II)F, (III)F
  3. (I)V, (II)F, (III)V
  4. (I)F, (II)V, (III)F
  5. (I)F, (II)F, (III)V

Passo 1

O que a questão pede basicamente é para descobrirmos que superfície é essa e qual é o gráfico dela. Então a gente vai rearrumar a equação e comparar com as que a gente conhece.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa equação é:

x 2 - y 2 + 4 y + z = 4

Para deixar ela com a carinha das que a gente conhece, vamos completar quadrados:

x 2 - y 2 - 4 y + z = 4

Sabendo que y 2 - 4 y = y - 2 2 - 4 , ficamos com:

x 2 - y - 2 2 - 4 + z = 4

x 2 - y - 2 2 + 4 + z = 4

x 2 - y - 2 2 + z = 0

z = - x 2 + y - 2 2

Analisando, vemos que temos dois termos elevados ao quadrado com sinais diferentes. Além disso, os termos com expoentes diferentes estão em lados oposto.

Isso se parece com essa equação aqui:

z - z 0 a 2 = - x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 c 2

Que é um paraboloide hiperbólico.

O gráfico dela parece uma sela. Se uma pessoa montasse nela, a cabeça estaria na direção do eixo z   e as pernas na direção do eixo y .

Com isso, a gente pode avaliar os itens I, II e III.

Passo 3

No item I, ele fala que a superfície é um paraboloide hiperbólico, que é exatamente o que a gente descobriu no passo anterior. Logo ela é verdadeira. Percebe que também achamos a equação da superfície padrão.

Passo 4

No item II, ele fala que a superfície é um hiperboloide de uma folha, já vimos que isso é falso, porque a superfície é um paraboloide hiperbólico. Logo essa é falsa.

Passo 5

No item III, ele dá um gráfico e pergunta se é o da superfície.

A gente já viu que a superfície, de fato, tem a forma de sela com a orientação mostrada.

Agora percebe que no gráfico, a superfície tem o eixo deslocado para ( 0 , 2,0 ) . Vamos ver se isso acontece na equação.

Essa é uma equação com eixo em x o ,   y o ,   z o :

z - z 0 a 2 = - x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 c 2

z = - x 2 + y - 2 2

Comparando com a nossa, a gente percebe que ela tem eixo em ( 0 , 2,0 ) . Então esse item é verdadeiro.

Logo, nossa alternativa certa é a letra c.

Resposta

Letra c

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