Exercícios Resolvidos de Deslocamento X Distância Percorrida

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Enunciado

5. Dois carros, A e B , se movem numa estrada retilínea. As equações horárias da posição dos carros A e B são respectivamente x A t = 12 t e x B t = 5,0 + 3,0 t 2 , onde t é medido em segundos e x em metros.

a) Faça um diagrama de movimento mostrando a posição, a velocidade e a aceleração de cada carro para t = 0 s ; t = 1,0 s ; t = 2,0 s ; t = 3,0 s e t = 4,0 s .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Temos dois carros que viajam em uma rodovia retilínea onde as equações das posições são dadas para o carro A como x A t = 12 t e para o carro B como x B t = 5,0 + 3,0 t 2 . Com isso queremos obter um diagrama que mostre a posição, velocidade e aceleração dos dois carros em t = 0 s ; t = 1,0 s ; t = 2,0 s ; t = 3,0 s e t = 4,0 s .

Lembra como fazemos isso? 😬

As equações de x t nos resulta na posição do veículo em um dado instante t e a partir dessa função podemos encontrar a velocidade instantânea do veículo se calcularmos sua derivada e também derivando novamente encontramos sua aceleração...

Ou seja

v t = x ' t

a t = v ' t = x ' ' t

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter a equação de velocidade do carro A ... se a equação da posição é dada por x A t = 12 t , então

v A t = d x A t d t = d 12 t d t

v A t = 12

Ou seja, v A t é uma constante, portanto a velocidade do carro A é constante.

Obtendo a equação da aceleração do carro A , temos

a A t = d v A t d t = d 12 d t

a A t = 0

Consequentemente a aceleração do carro A é 0 .

Se encontramos

x A t = 12 t v A t = 12 a A t = 0

Então em t = 0 s , temos

x A 0 = 0   m v A 0 = 12   m / s a A 0 = 0   m / s 2

Em t = 1 s

x A 1 = 12 v A 1 = 12 a A 1 = 0

Em t = 2 s

x A 2 = 12 · 2 v A 2 = 12 a A 2 = 0 → x A 2 = 24 v A 2 = 12 a A 2 = 0

Em t = 3 s

x A 3 = 12 · 3 v A 3 = 12 a A 3 = 0 → x A 3 = 36 v A 3 = 12 a A 3 = 0

E em t = 4 s

x A 4 = 12 · 4 v A 4 = 12 a A 4 = 0 → x A 4 = 48 v A 4 = 12 a A 4 = 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma análise para o carro B . Se a função de posição é dada por x B t = 5,0 + 3,0 t 2 , podemos obter a função velocidade instantânea como

v B t = d x B t d t = d 5,0 + 3,0 t 2 d t

v B t = 6 t

Derivando novamente encontramos a equação da aceleração instantânea do carro B

a B t = d v B t d t = d 6 t d t

a B t = 6

Assim, temos as seguintes equações

x B t = 5,0 + 3,0 t 2 v B t = 6 t a B t = 6

Assim, em t = 0 s

x B 0 = 5,0 + 3,0 0 2 v B 0 = 6 0 a B 0 = 6 → x B 0 = 5,0   m v B 0 = 0   m / s a B 0 = 6   m / s 2

Em t = 1 s

x B 1 = 5,0 + 3,0 1 2 v B 1 = 6 1 a B 1 = 6 → x B 1 = 8   m v B 1 = 6   m / s a B 1 = 6   m / s 2

Em t = 2 s

x B 2 = 5,0 + 3,0 2 2 v B 2 = 6 2 a B 2 = 6 → x B 2 = 17   m v B 2 = 12   m / s a B 2 = 6   m / s 2

Em t = 3 s

x B 3 = 5,0 + 3,0 3 2 v B 3 = 6 3 a B 3 = 6 → x B 3 = 32   m v B 3 = 18   m / s a B 3 = 6   m / s 2

Em t = 4 s

x B 4 = 5,0 + 3,0 4 2 v B 4 = 6 4 a B 4 = 6 → x B 4 = 53   m v B 4 = 24   m / s a B 4 = 6   m / s 2

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Por fim, vamos montar um gráfico que contém as funções posição, velocidade e aceleração do carro A e do carro B .

Anteriormente vimos que o carro A seguia as seguintes funções

x A t = 12 t v A t = 12 a A t = 0

E o carro B

x B t = 5,0 + 3,0 t 2 v B t = 6 t a B t = 6

Esboçando um diagrama da posição dos carros em todos os tempos mostrando suas velocidades e aceleração...

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x A t = 12 t v A t = 12 a A t = 0 ,     x B t = 5,0 + 3,0 t 2 v B t = 6 t a B t = 6

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