Exercícios Resolvidos de Deslocamento X Distância Percorrida

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Enunciado

5. Dois carros, A e B , se movem numa estrada retilínea. As equações horárias da posição dos carros A e B são respectivamente x A t = 12 t e x B t = 5,0 + 3,0 t 2 , onde t é medido em segundos e x em metros.

e) Para que tempo(s), caso exista algum, um carro ultrapassa o outro?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Temos dois carros que viajam em uma rodovia retilínea onde as equações das posições são dadas para o carro A como x A t = 12 t e para o carro B como x B t = 5,0 + 3,0 t 2 . Com isso queremos obter os instantes t em um carro ultrapassa o outro.

Lembra como fazemos isso? 😬

Nesse caso, quando um carro ultrapassa o outro, x A t e x B t são iguais encontrando esses pontos e substituindo esses pontos nas equações das velocidades v A t e v B t podemos descobrir quem ultrapassa e quem é ultrapassado.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Anteriormente vimos que igualando x A t e x B t encontramos os pontos onde os carros se encontram.

Os pontos que encontramos foram em t 1 = 6 - 21 3 s e t 2 = 6 + 21 3 s .

No primeiro encontro, em t 1 , o ponto de encontro foi

x t 1 = 12 · 6 - 21 3 = 4 · 6 - 21

x t 1 = 24 - 4 21 m

Para descobrir quem está ultrapassando temos que saber quem possui a maior velocidade nesse momento.

Vimos que derivando as funções x A t e x B t encontramos v A t e v B t

v A t = x A ' t = 12

v B t = x B ' t = 6 t

No instante t 1 temos

v A t 1 = 12   m / s

v B t 1 = 6 6 - 21 3 = 2 6 - 21

v B t 1 = 12 - 2 21   m / s

Portanto em t 1 , v A t 1 > v B t 1 , logo o carro A ultrapassa o carro B no ponto x t 1 = 24 - 4 21 m .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma análise em t 2 = 6 + 21 3 s

Encontrando o ponto do espaço onde essa ultrapassagem ocorre, temos

x t 2 = 12 6 + 21 3 = 4 6 + 21

x t 2 = 24 + 4 21 m

Obtendo as velocidades dos carros A e B nesse instante, temos

v A t 2 = 12   m / s

v B t 2 = 6 6 + 21 3 = 2 6 + 21

v B t 2 = 12 + 2 21   m / s

Agora v B t 2 > v A t 2 , portanto o carro B está ultrapassando o carro A no espaço x t 2 = 24 + 4 21 m .

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Em t 1 = 6 - 21 3 s o carro A ultrapassa o carro B e em t 2 = 6 + 21 3 s o carro B ultrapassa o carro A .

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