Exercícios Resolvidos de Deslocamento X Distância Percorrida

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Enunciado

Uma sala tem dimensões de 3,00 metros (altura) × 3,70 m × 4,30 m. Partindo de um vértice, uma mosca voa aleatoriamente pousando no vértice diagonalmente oposto.

(a) Qual é o módulo de seu deslocamento?

(b) Poderia o comprimento de sua trajetória ser menor do que este módulo?

(c) Maior do que este módulo?

(d) Igual a este módulo?

(e) Escolha um sistema de coordenadas adequado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos dos vetores unitários associados a esse sistema.

(f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual é o comprimento do menor caminho que ela pode tomar?

(Dica: isto pode ser respondido sem cálculo sofisticado. A sala é como uma caixa. Desdobre as paredes projetando-as sobre um plano.)

Passo 1

Oi tudo bem? Essa questão aprece difícil, mas vou fazer junto com você!

Esse é um problema que envolve a visualização do espaço em três dimensões! E por isso vamos falar em vetores!

Para facilitar, vou representar uma caixa com dimensões d x , d y , d z e o deslocamento d da mosca:

Saindo de um vértice e indo aleatoriamente até o outro, na diagonal oposta, podemos calcular a diagonal desse paralelepípedo e achar o deslocamento da mosca!

Também podemos, com as medidas da caixa, determinar vetores que representam os lados dela e assim responder as outras questões. Mas relaxa, vamos fazer passo a passo

Passo 2

(a) ,(b), (c) e (d):

Utilizando o modelo de caixa do passo anterior, o módulo do deslocamento vai ser aquela diagonal, pois saímos do vértice inferior e chegamos naquele vértice oposto lá em cima na caixa.

As dimensões da caixa são:

d x = 4,3 ,   d y = 3 ,   d z = 3,7

E a diagonal de um paralelepípedo é:

d = d x 2 + d y 2 + d z 2 = 4,3 2 + 3 2 + 3,7 2 = 6,42 m

Beleza?

E esse seria o menor caminho! Isso porque, considerando que a menor distância entre dois pontos é uma reta, e a distâncias entre as quinas é a diagonal, então a mosca percorreu sim o menor caminho.

Por isso que a distância percorrida pela mosca só pode ser maior ou igual, nunca menor.

Nossa resposta para a letra (b) seria NÃO, (c) seria SIM e (d) SIM

Passo 3

(e)

Agora o problema pede para representar na forma vetorial as dimensões da caixa. Vou resgatar o desenho que fiz no passo 1:

Sabendo que o versor que dá direção e sentido no eixo x é = i ^ , do eixo y é = j ^ e de z é = k ^ , e usando as dimensões da caixa

d x = 4,3 ,   d y = 3 ,   d z = 3,7

Podemos definir um vetor d → com as dimensões dessa caixa:

d → = 4,3 i ^ + 3 j ^ + 3,7 k ^

Beleza? Vamos para a próxima letra?

Passo 4

(f) agora a mosca vai caminhar! Precisamos pensar no menor caminho possível! A ideia aqui é virar a parede lateral para o chão para encontrar a menor distância entre os dois pontos. Então ela precisa caminhar pelos dois menores lados e depois atravessar até o vértice oposto, assim:

Enxergando da vista superior, temos que d ' é o seguinte:

d z + d y temos o menor cateto possível sendo formado. E junto com d x , fechamos um triângulo retângulo, onde o deslocamento d ' é a distância que a mosca vai andar:

d ' = d y + d z 2 + d x 2

Se você inverter, por exemplo somar d x + d y ou d x + d z verá que no final o triângulo retângulo formado será maior e a mosca andará por um caminho maior

Substituindo os valores temos:

d ' = 3 + 3,7 2 + 4,3 2 = 7,96 m

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

a d = 6,42 m

b N ã o  

c S i m

d S i m

e d → = 4,3 i ^ + 3 j ^ + 3,7 k ^

f d ' = 7,96 m

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