Exercícios Resolvidos de Deslocamento X Distância Percorrida

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Enunciado

A velocidade de uma partícula é dada por v t = 8 t - 7 , onde v está em metros por segundo e t em segundos.

d) Qual a distância D percorrida no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2   s ?

Passo 1

Faaaala gente bonita, tudo bom?

Nessa questão nos foi dado que a velocidade de uma partícula em função do tempo é dada por:

v t = 8 t - 7

A partir disso, devemos calcular a distância D percorrida pela partícula no intervalo 0 ≤ t ≤ 2   s .

Como podemos fazer isso?

Então, a ideia principal é usar a relação de integração entre v ( t ) e x ( t ) . Mas, precisamos tomar um cuidado extra aqui: como queremos calcular a distância percorrida, não nos interessa se ela foi percorrida para frente ou para trás, ou seja, não importa se v > 0 ou v < 0 .

Assim, precisamos escrever que:

D = ∫ 0 2 v t d t

Perfeito!

Vamo nessa!

Passo 2

Pra começar vamos destrinchar melhor esse módulo da velocidade no intervalo de tempo considerado. Vamos analisar para quais valores de t temos a velocidade maior ou menor do que zero.

v t = 8 t - 7

∴ 8 t - 7 > 0

8 t > 7

∴ t > 7 8 s

Portanto, temos:

v t = - 8 t - 7 ,     t ≤ 7 8 s 8 t - 7 ,     t > 7 8   s

Assim, vamos reescrever a nossa integral de D :

D = ∫ 0 7 8 - 8 t - 7 d t + ∫ 7 8 2 8 t - 7 d t

Excelente!

Passo 3

Vamos resolver as integrais:

∫ 7 8 2 8 t - 7 d t = 4 t 2 - 7 t 7 8 2

= 4 ⋅ 2 2 - 7 ⋅ 2 - 4 ⋅ 7 8 2 - 7 ⋅ 7 8

Então:

∫ 7 8 2 8 t - 7 d t = 2 - 4 ⋅ 7 8 2 - 7 ⋅ 7 8

Beleza!

Já pra primeira integral, temos:

∫ 0 7 8 - 8 t - 7 d t = - ∫ 0 7 8 8 t - 7 d t

=   - 4 t 2 - 7 t 0 7 / 8

=   - 4 ⋅ 7 8 2 - 7 ⋅ 7 8

Daí, juntando as duas integrais, temos:

D = - 4 ⋅ 7 8 2 - 7 ⋅ 7 8 + 2 - 4 ⋅ 7 8 2 - 7 ⋅ 7 8

Logo:

D = 2 - 2 ⋅ 49 16 - 49 8

= 2 - 2 ⋅ ( - 49 ) 16

Então:

D = 2 + 49 8

∴ D = 65 8   m  

Uhuuul! Terminamos!

Valeu pessoal, espero que vocês tenham entendido bem direitinho 😉

Resposta

65 8   m

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