( a ) Mostre que uma função de variáveis separadas

u x , t = X x T ( t )

é uma solução da EDP

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,     t > 0

( L > 0 ) se, e somente se, X e T são soluções das EDOs

X ' ' - 2 X ' = - λ X ,     T ' = - λ T

para uma constante arbitrária λ .

( b ) Supondo λ > 1 , obtenha a solução do PVIC

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,       t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

pelo método de separação de variáveis, ou seja, usando o resultado do item a), determine funções

u n x , t = X n x T n ( t )

satisfazendo a EDP e a condição de contorno

u 0 , t = u L , t = 0

tal que

u x , t = ∑     c n u n x , t  

seja solução, com os coeficientes c n dados em termos da função f .

( c ) Calcule a série de Fourier em senos no intervalo ( 0 , π ) da função e - x , ou seja, calcule c n tal que

e - x = ∑ n ∞ c n   s e n   ( n x )

Para x ∈ ( 0 , π ) . Justifique porque esta igualdade vale para todo x ∈ ( 0 , π ) .

Dado: ∫ e - x   s e n   a x d x = - a 2 + 1 - 1 e - x s e n   a x + a cos ⁡ a x + c .

Passo 1

( a ) Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que não se trata de uma equação de calor, mas o método ainda vale.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x , t = X ' x T ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

u t = u x x - 2 u x

X x T ' t = X ' ' ( x ) T t - 2 X ' x T ( t )

X x T ' t = X ' ' x - 2 X ' x T ( t )

X ' ' x - 2 X ' x X ( x ) = T ' ( t ) T ( t ) = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

T ' t = - λ T t X ' ' x - 2 X ' x = - λ X x

Passo 2

( b ) Tomando λ > 1 , vamos resolver a EDO

X ' ' - 2 X ' = - λ X

X ' ' - 2 X ' + λ X = 0

A sua equação característica é dada por

r 2 - 2 r + λ = 0

r = 2 ± 4 - 4 λ 2

r = 1 ± i λ - 1

Portanto, sua solução é da forma

X x = e x C 1 cos ⁡ λ - 1   x + C 2 sen ⁡ λ - 1   x

Passo 3

Aplicando as condições de contorno:

u 0 , t = u L , t = 0

X 0 T ( t ) = X L T ( t ) = 0

Como T t ≠ 0 , temos que

X 0 = X L = 0

Assim:

X 0 = C 1 = 0

X L = C 2   e L sen ⁡ λ - 1   L = 0

E, desta forma, temos que

λ - 1   L = n π ,     n ∈ Z * +

Portanto:

λ - 1   = n π L 2

λ = λ n = 1 + n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , …

Passo 4

Agora que já temos os autovalores λ n , encontramos as autofunções X n :

X n = e x sen ⁡ λ n - 1   x

X n = e x sen ⁡ n π x L

E, assim, para a EDO em t :

T ' = - λ T

T t = e - λ n t  

T t = e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Passo 5

Perfeito, e agora? Agora combinamos os resultados:

u n x , t = X n x . T n ( t )

u n x , t = e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

E, se uma dessas é solução, a combinação linear delas também é:

u x , t = ∑ n = 0 ∞ c n   u n ( x , t )

u x , t = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Passo 6

Com a condição inicial em t :

f x = u x , 0 = X x T 0

f x = e x ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L

Se escrevermos agora

e - x f x = ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L

observamos que c n são os coeficientes da Série de Fourier em senos da função e - x f ( x ) , isto é:

c n = 1 L ∫ - L L e - x f x sen ⁡ n π x L d x

ou

c n = 2 L ∫ 0 L e - x f x sen ⁡ n π x L d x

Passo 7

( c ) Queremos a Série de Fourier em senos no intervalo ( 0 , π ) , então:

e - x = ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L

com L = π . Logo,

e - x = ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n x

Assim, os coeficientes são dados por

c n = 2 π ∫ 0 π e - x sen ⁡ n x d x

Passo 8

Usando o dado da questão:

∫ e - x   s e n   a x d x = - a 2 + 1 - 1 e - x s e n   a x + a cos ⁡ a x + c

Com a = n e c = 0 :

c n = 2 π - n 2 + 1 - 1 e - x s e n   n x + n cos ⁡ n x 0 π

c n = - 2 π ( n 2 + 1 ) [ e - π n cos ⁡ n π - n ]

Mas como cos ⁡ n π = - 1 n , vem:

c n = - 2 n π ( n 2 + 1 ) [ e - π - 1 n - 1 ]

A série converge para a função no intervalo desejado, garantido pelo Teorema de Fourier, já que a função é contínua e tem derivada seccionalmente contínua (na verdade, contínua) em todo o intervalo.

Resposta

( b ) c n = 2 L ∫ 0 L e - x f x sen ⁡ n π x L d x

( c ) c n = - 2 n π ( n 2 + 1 ) [ e - π - 1 n - 1 ]

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