Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

UFRJ, Cálculo 4, P2 2012.1, Questão 3

Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis x e t , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

u t t = u + u t x x para x , t ∈ 0 , L × ( 0 ,   ∞ )

u 0 , t = u L ,   t = 0

Passo 1

Como sempre, temo que fazer a separação de variáveis. Mas essa EDO parcial aqui é meio diferente do que já vimos, né? Não importa, o passo a passo é o mesmo!

Vamos supor que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x . T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, u ( x , t ) tem que satisfazer a EDO, né?

u t t = u + u t x x

Então, vamos substituí-la ai! Vamos com calma, ok? Temos:

X x T ' ' t = d 2 [ X x T t + X x T ' t ) d x 2

X x T ' ' t = X ' ' x T t + X ' ' x T ' ( t )

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para t   quando derivamos em relação a x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

X x T ' ' t = X ' ' ( x ) [ T t + T ' t ]

X ' ' x X x = T ' ' t T t + T ' ( t ) = λ

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que λ é uma constante.

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' - λ X = 0 T ' ' - λ ( T + T ' ) = 0

Passo 3

Agora vamos separar as variáveis nas condições problema, fazendo u x , t = X x . T ( t ) :

u 0 , t = 0         →           X 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0         →           X 1 . T L ⏟ ≠ 0 = 0           →       X L = 0

Passo 4

O problema pede as EDO’s nas variáveis x e t com suas respectivas condições de contorno, então vamos reescrever o que encontramos.

Temos o problema de contorno

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X L = 0

E a EDO em t :

T ' ' - λ ( T + T ' ) = 0

Como a questão não pede a resolução, paramos por aqui.

Resposta

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X L = 0

T ' ' - λ ( T + T ' ) = 0

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