Encontre todas as soluções u da forma u x , y = X x Y y do problema:

x 2 y 2 u x y = x 2 u x + y 2 u y ,   x > 0 ,   y > 0

Passo 1

Lembrando então que:

u x y = X ' x Y ' ( y )

u x = X ' x Y y

u y = X x Y ' ( y )

Substituindo na equação, temos:

x 2 y 2 X ' Y ' = x 2 X ' Y + y 2 X Y '

x 2 y 2 X ' Y ' - x 2 X ' Y = y 2 X Y '

x 2 X ' y 2 Y ' - Y = y 2 X Y '

x 2 X ' X =   y 2 Y ' y 2 Y ' - Y

Como o lado esquerdo é constante em y e o lado direito é constante em x, os dois são iguais a uma constante λ . Assim,

x 2 X ' X =   y 2 Y ' y 2 Y ' - Y =   λ

Passo 2

Vamos analisar a parte de x :

x 2 X ' X =   λ

X ' X =   λ x 2

ln ⁡ X x =   - 1 x   λ + C

X x = e C e - 1 x λ

X x = A e - 1 x λ

Onde A e C são constantes

Passo 3

Agora, em y, temos:

y 2 Y ' 1 - λ =   - λ Y

Y ' Y =   λ λ - 1   1 y 2

ln ⁡ Y y =   - 1 y   λ λ - 1 + k

Portanto, Y y = B e - 1 y   λ λ - 1 onde B e K são constantes.

Logo,

u x , y = C e - 1 x   λ e - 1 y   λ λ - 1 , onde C é uma constante

Resposta

u x , y = C e - 1 x   λ e - 1 y   λ λ - 1

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Considere a equação de Helmholtz no disco r
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e