Encontre todas as soluções u x , y = X ( x ) Y ( y ) do problema

u x + u y = u , u 0,0 = 1

Passo 1

Oiiie, tudo certinho com você?

Nós temos aqui uma equação diferencial parcial (EDP) de primeira ordem, e condições iniciais sobre o sistema! Precisamos achar uma solução! O que significa isso, no entanto? Significa que iremos encontrar uma função u ( x , y ) que respeite as condições dada no enunciado! E já que temos as derivadas parciais dela na equação dada, porquê não começamos por aí? Certo? Bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função u ( x , y ) parcialmente em relação a x , temos que

u x x , y = ∂ u ( x , y ) ∂ x = ∂ X ( x ) Y ( y ) ∂ x

Como Y ( y ) não depende de x , podemos considerar esta parte como uma constante, e temos que

u x x , y = Y y d X ( x ) d x               ( 1 )

Podemos fazer o mesmo, mas agora, derivando parcialmente em y , para obter

u y x , y = X x d Y ( y ) d y           ( 2 )

Vamos substituir isso dentro de nossa equação diferencial! Saca só!

Passo 3

Colocando a equação (1) e (2) em nossa equação diferencial, temos

Y y d X ( x ) d x + X x d Y ( y ) d y = X ( x ) Y ( y )

Se eu dividir os dois lados por X ( x ) Y ( y ) , tenho que

1 X ( x ) d X ( x ) d x + 1 Y ( y ) d Y ( y ) d y = 1           ( 3 )

A equação (3) está em um ótimo formato, pois podemos separar tudo que depende de x de um lado e tudo que depende de y do outro lado! Vamos fazer isso!

Passo 4

Da equação (3) temos que

1 X ( x ) d X ( x ) d x = 1 - 1 Y y d Y ( y ) d y

Como o lado esquerdo só depende de x e o direito só depende de y , temos que a única solução possível é aquela onde ambos os lados são iguais a uma constante, da seguinte maneira

1 X ( x ) d X ( x ) d x = C           ( 4 )

E

1 - 1 Y y d Y y d y = C           ( 5 )

Próximo passo é resolver 4 e ( 5 ) individualmente! Vem comigo!

Passo 5

Começando pela equação ( 4 ) temos que multiplicando os dois lados por d x

1 X x d X x = C d x

Se integrarmos de ambos os lados obtemos

∫ 1 X x d X ( x )   = C ∫ d x

O que resulta em

ln ⁡ ( X ( x ) ) = C x + C 1

E aplicando a função exponencial de ambos os lados podemos isolar X ( x ) como

X x = e C x + C 1 = K 1 e C x           ( 6 )

Essa é a nossa primeira função. Vamos resolver agora a equação (5) e obter a outra!

Passo 6

Isolando os termos de Y ( y ) na equação (5) temos que

1 Y ( y ) d Y ( y ) d y = 1 - C

Se multiplicarmos os dois lados por d y , temos

1 Y y d Y y = d y - C d y

Integrando nos limites de integração apropriados, temos que

∫ 1 Y y d Y ( y ) = ∫ d y - C ∫ d y

Temos então resolvendo as integrais que

ln ⁡ Y y = y - C y + C 2

E, aplicando as exponenciais, obtemos

Y y = e 1 - C y + C 2 = K 2 e ( 1 - C ) y           ( 7 )

Belezinha! Agora é só escrevermos nossa solução geral! Bora lá!

Passo 7

Temos que u x , y = Y ( y ) X ( x ) , portanto

u x , y = K 1 K 2 e C x e ( 1 - C ) y

Se aplicarmos a condição inicial que u 0,0 = 1 , temos que

1 = K 1 K 2 e 0 e 0 = K 1 K 2

De forma que a solução se torna

u x , y = e 1 e ( x - y ) C = e 1 + ( x - y ) C

Temos todas as soluções porquê para cada valor da constante C , temos uma solução válida possível! A nossa resposta final é essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u x , y = e 1 + ( x - y ) C

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