Escreve a forma geral das EDP’s lineares de segunda ordem com função incógnita u = ( x , y ) . Quando a equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?

Passo 1

Oooii genteeee, como vocês estãoo?

Nessa questão temos um problema meio diferente. O enunciado nos pede para escrever a forma geral das EDP’s lineares de segunda ordem com função u x , y . Além disso, ele também nos pergunta quando a equação será homogênea.

Beleza?

Galera, as EDP’s são as equações diferenciais parciais. Ou seja, temos uma função de mais de uma variável (no caso do nosso problema são funções de duas variáveis).

Além disso, elas são lineares porque todos os termos envolvendo as funções ou suas derivadas estão elevados à primeira potência.

É de segunda ordem porque temos no máximo derivadas parciais de segunda ordem.

Por fim, ela é homogênea quando na equação diferencial não há nenhuma função diferente de u ( x , y ) e suas derivadas parciais.

Sabendo disso, vamos lá matar essa questão 😊

Passo 2

Então, vamos primeiro nos preocupar em escrever a EDP linear e de segunda ordem no caso mais geral.

Poderão aparecer os termos:

u ( x , y ) ∂ u ∂ x = u x ∂ u ∂ y = u y ∂ 2 u ∂ x 2 = u x x ∂ 2 u ∂ y 2 = u y y f ( x , y )

Assim, multiplicando cada um desses termos por coeficientes e somando-os vamos ter:

c 1 ⋅ u y y + c 2 ⋅ u x x + c 3 ⋅ u x + c 4 ⋅ u y + c 5 ⋅ u = f ( x , y )

Portanto, essa é a forma geral da EDP linear de segunda ordem.

Para essa EDP ser homogênea, precisamos ter que:

f x , y = 0

Logo, teríamos a EDP, linear e homogênea de segunda ordem:

c 1 ⋅ u y y + c 2 ⋅ u x x + c 3 ⋅ u x + c 4 ⋅ u y + c 5 ⋅ u = 0

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Por fim, vamos responder porque que essas equações no formato mais geral não costumam ser trabalhadas nos livros e notas de aula.

É que as equações diferenciais parciais representam uma classe de problemas bastante complexos, e muitos deles só podem ser resolvidos computacionalmente. Assim, quando estudamos esse assunto costumamos ver apenas as equações mais clássicas: equação do calor, equação de Laplace e equação de onde.

Pois, essas equações além de terem uma aplicação prática muito concreta, também podem ser resolvidas utilizando o método da separação as variáveis. Ou seja, não precisam necessariamente de computador pra serem resolvidas.

Show de bola, galera?

É isso aí então, obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

c 1 ⋅ u y y + c 2 ⋅ u x x + c 3 ⋅ u x + c 4 ⋅ u y + c 5 ⋅ u = f ( x , y )

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