O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( a ) Se u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima, qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

esta é uma barra de comprimento L = 1 , com distribuição inicial de temperatura dada por u ( x , 0 ) = f ( x ) e extremidades isoladas. A alternativa pede para que utilizemos uma solução da forma

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )

e discutamos quais as condições sobre X ( x ) para que ela seja adequada ao nosso problema! Isso é o método de separação de variáveis! Saca só!

Passo 2

Substituindo a solução fatorada na equação diferencial temos que

E D   X ( x ) d d t T ( t ) = T ( t ) d 2 d x 2 X ( x ) , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

nós podemos separar as variáveis em cada lado da equação da seguinte maneira

1 T ( t ) d d t T ( t ) = λ = 1 X ( x ) d 2 d x 2 X ( x )

λ é uma constante já que cada lado evolui individualmente para cada variável. Sendo assim, a nossa função X ( x ) deve obedecer a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem

d 2 d x 2 [ X ( x ) ] - λ X ( x ) = 0

As condições de fronteira obtidas tais que

∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0

ou seja

T ( t ) d d x [ X ( 0 ) ] = 0 e T ( t ) d d x [ X ( 1 ) ] = 0

como escolher T ( t ) = 0 nos leva a uma solução trivial, u ( x , t ) = 0 , precisamos que

d d x [ X ( 0 ) ] = 0 e d d x [ X ( 1 ) ] = 0

Este é o problema de fronteira que precisamos resolver! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

d 2 d x 2 [ X ( x ) ] - λ X ( x ) = 0 em que d d x [ X ( 0 ) ] = 0 e d d x [ X ( 1 ) ] = 0

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