O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( c ) Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de separação de variáveis.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

esta é uma barra de comprimento L = 1 , com distribuição inicial de temperatura dada por u ( x , 0 ) = f ( x ) e extremidades isoladas. Nas últimas alternativas encontramos que ao aplicar o método de separação de variáveis usando uma solução fatorada da forma

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )

obtemos que a função X ( x ) deveria obedecer o problema de fronteira

d 2 d x 2 [ X ( x ) ] - λ X ( x ) = 0 em que d d x [ X ( 0 ) ] = 0 e d d x [ X ( 1 ) ] = 0

e, a parte temporal uma equação diferencial de primeira ordem separável

1 T ( t ) d d t [ T ( t ) ] = λ

obtemos também que λ > nos resulta apenas na solução trivial u ( x , t ) = 0 . Assim como, temos que para λ = 0 , temos a solução trivial ou uma solução constante da forma

u ( x , t ) = C

Vamos analisar agora o caso que resta, em que λ < 0 , de forma que temos soluções da forma

X n ( x ) = C n c o s ( | λ | x )

e, | λ | = n 2 π 2 . Bora lá!

Passo 2

O que falta encontrar tendo em vista o que fizemos nas alternativas anteriores, é a parte temporal dessa solução e aplicar as condições iniciais, temos que

1 T ( t ) d d t [ T ( t ) ] = - | λ |

é o problema que nos resta já que λ < 0 . Separando as variáveis e integrando em ambos os lados, podemos obter para esta função que

l n [ T ( t ) ] = - | λ | t + C 2

e, portanto, temos que

T ( t ) = K 2 e - | λ | t

ou usando os possíveis valores para | λ |

T n ( t ) = K n e - n 2 π 2 t

Vamos usar isso para escrever a nossa solução geral!

Passo 3

Juntando as nossas partes fatoradas, temos que

u n ( x , t ) = K n e - n 2 π 2 t c o s ( n π x )

aqui K n representa ambas as constantes apresentadas anteriormente. Mas, essa é uma possibilidade para um n específico, como essa equação diferencial é linear, temos que a superposição de todas as soluções também é solução, e portanto, em geral, temos que

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ K n e - n 2 π 2 t c o s ( n π x )

Se aplicarmos agora a condição inicial

u ( x , 0 ) = f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ K n c o s ( n π x )

de forma que podemos identificar os coeficientes K n como os coeficientes de cosseno da série de Fourier

K n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 2 ∫ 0 1 f ( x ) c o s ( n π x ) d x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ K n e - n 2 π 2 t c o s ( n π x )

K n = 2 ∫ 0 1 f ( x ) c o s ( n π x ) d x

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