Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

d )   u x , t = s e n x - c t ,     ∂ t 2 u - c 2 ∂ x 2 u = 0 , onde c é uma constante.

Passo 1

Olá Olá!!! Tudo certinho por aí?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ t 2 u - c 2 ∂ x 2 u = 0

onde c é uma constante.

E, precisamos comprovar que a função:

u x , t = s e n x - c t

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ t 2 u - c 2 ∂ x 2 u = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , t = s e n x - c t

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u .

Começando pela derivada parcial em relação a x , vamos ter:

∂ x u = ∂ s e n x - c t ∂ x

Usando a regra da cadeia, vamos ter:

∂ x u = cos ⁡ x - c t ⋅ 1

Derivando mais uma vez, temos:

∂ x 2 u = - s e n x - c t ⋅ 1

Massa! Vamos agora para a derivada com relação a t :

∂ t u = ∂ s e n x - c t ∂ t

Daí, novamente usando a regra da cadeia:

= cos ⁡ x - c t ⋅ ( - c )

Derivando mais uma vez:

∂ t 2 u = ∂ - cos ⁡ x - c t ⋅ c ∂ t

=   s e n x - c t ⋅ - c ⋅ c

Logo:

∂ t 2 u =   - c 2 ⋅ s e n ( x - c t )

Daí agora é só substituirmos esses resultados na nossa EDP:

∂ t 2 u - c 2 ∂ x 2 u = - c 2 ⋅ s e n x - c t - c 2 - s e n x - c t ⋅ 1

=   - c 2 ⋅ s e n x - c t + c 2 ⋅ s e n x - c t

= 0

Que �� o mesmo resultado da EDP dada no enunciado.

Portanto, a função dada é uma solução da EDP.

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Considere a equação de Helmholtz no disco r
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e