Encontre todas as soluções da forma u x , y = X x Y y do problema: u x + u x y + u y = 0 ,     x , y ∈ R 2 .

Passo 1

Ok, como o enunciado sugeriu, vamos aplicar o método da separação de variáveis:

u x , y = X x Y y

Assim, precisamos substituir essa identidade na EDP:

u x + u x y + u y = 0

Então vamos calcular essas derivadas: u x = X ' x Y y

u x y = X ' x Y ' y

u y = X x Y ' y

Assim, substituindo temos: X ' x Y y + X ' x Y ' y + X x Y ' y = 0

Precisamos deixar tudo que for X de um lado e tudo que for Y do outro. Para isso, colocamos o X ' x em evidência e jogamos o resto pro outro lado: X ' x Y y + Y ' y = - X x Y ' y

E então separamos as funções: X ' x X x = - Y ' y Y y + Y ' y

Como temos funções de x e de y em lados opostos, o único jeito disto ser verdade para solução não trivial é com os dois valores iguais a uma constante λ :

X ' x X x = - Y ' y Y y + Y ' y = λ

Passo 2

A partir dessa relação, conseguimos montar duas EDOs:

X ' x X x = λ

X ' x = λ X x

E também:

- Y ' y Y y + Y ' y = λ

- Y ' y = λ Y y + λ Y ' y

λ + 1 Y ' y + λ Y y = 0

Y ' y + λ λ + 1 Y y = 0

Legal, então teremos duas EDOs para resolver: X ' x = λ X x  

Y ' y + λ λ + 1 Y y = 0

Passo 3

Como não temos nenhuma condição de contorno, vamos começar pela mais simples que a com X x . Essa é uma EDO separável. Para resolvê-la, escrevemos: X ' x = d X d x

E separamos tudo que for X (ão) de um lado e tudo que for x (zinho) do outro: d X d x = λ X

d X X = λ d x

Integrando dos dois lados: ∫ d X X = λ ∫ d x

ln ⁡ X = λ x + K 1

Assim, isolando X :

X x = e λ x e K 1

Para simplificar, tomamos A ≔ e K 1 , ficando: X x = A e λ x

Passo 4

Vamos agora para a outra EDO. Está também é uma EDO separável, então: Y ' y = d Y d y

Substituindo, temos:

d Y d y + λ λ + 1 Y y = 0

Separamos tudo que for Y (ão) de um lado e tudo que for y (zinho) do outro: d Y d y = - λ λ + 1 Y

d Y Y = - λ λ + 1 d y

Integrando dos dois lados, temos: ln ⁡ Y = - λ λ + 1 y + K 2

Y y = e - λ λ + 1 y e K 2

Definimos B ≔ e K 2 e então temos:

Y y = B e - λ λ + 1 y

Passo 5

Agora justamos os dois resultados: u x , y = X x Y y

u x , y = A e λ x ⋅ B e - λ λ + 1 y  

Definindo C : = A ⋅ B :

u x , y = C e λ x - λ λ + 1 y

Resposta

u x , y = C e λ x - λ λ + 1 y

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