Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( a )   f ( x ) = x ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte fun��ão

  f ( x ) = x ,   - L ≤ x ≤ L

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos algumas coisas que podem nos ajudar de cara! Por exemplo, temos que a função

f ( x ) = x

é ímpar, portanto, apenas o coeficiente do seno é não-nulo. Temos que calcular então apenas

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

uma integral de polinômio vezes uma função trigonométrica pode ser resolvidas por partes, usando a escolha

u = x e d u = d x

e, também

d v = s e n ( n π x L ) d x e v = - L n π c o s ( n π x L )

Temos que nossa integral se torna

b n = - 1 n π x   c o s ( n π x L ) | - L + L + 1 n π ∫ - L L c o s ( n π x L ) d x

A integral que falta pode ser identificada diretamente como

∫ - L L c o s ( n π x L ) d x = L n π s e n ( n π x L ) | - L L

temos então como resultado final

b n = - 1 n π x c o s ( n π x L ) | - L + L + L n 2 π 2 s e n ( n π x L ) | - L + L

Vamos avaliar os limites e reescrever a expressão!

Passo 3

Avaliando os limites de integração temos que

b n = - 1 n π [ L   c o s ( n π ) + L   c o s ( n π ) ] + L n 2 π 2 [ L   s e n ( n π ) - L s e n ( n π ) ]

em que usei a paridade da função cosseno e seno para manter os argumentos iguais, simplificando, temos que

b n = - 2 L n π c o s ( n π )

quando n é ímpar, temos que c o s ( n π ) = - 1 e quando n é par, temos que c o s ( n π ) = + 1 , então podemos reescrever a expressão acima como

b n = 2 L n π ( - 1 ) n + 1

de forma que a nossa série de Fourier é simplesmente

f ( x ) ≈ 2 L π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n c o s ( n π x L )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 2 L π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n c o s ( n π x L )

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