Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

c ) Verifique que para constantes arbitrárias c 1 e c 2 , as funções c 1 u 1 e c 2 u 2 também são soluções da equação.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá a seguinte EDP não-linear

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

e, pede para que mostremos que as seguintes funções

c 1 u 1 ( x , y ) e c 2 u 2 ( x , y )

em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias e mostramos na alternativa anterior que u 1 ( x , y ) e u 2 ( x , y ) são soluções, no entanto, o formato delas especificamente não importa! Belezinha? Para fazermos isso precisamos substituir as funções e ver que a equação se mantém sem problemas! Ou seja, derivar e substituir! Bora lá!

Passo 2

Começando com a função

c 1 u 1 ( x , y )

a derivada em relação a x é dada por

∂ x c 1 u 1 ( x , y ) = c 1 ∂ x u 1 ( x , y )

e, a derivada em relação a y é dada por

∂ y c 1 u 1 ( x , y ) = c 1 ∂ y u 1 ( x , y )

substituindo os resultados em nossa equação diferencial, obtemos

c 1 2 ∂ y u 1 ∂ x u 1 - c 1 u 1 ( x , y ) ( c 1 ∂ x u 1 + c 1 ∂ y u 1 ) + c 1 2 u 1 2 = 0

se dividirmos toda a equação por c 1 2 , temos que

∂ y u 1 ∂ x u 1 - u 1 ( x , y ) ( ∂ x u 1 + ∂ y u 1 ) + u 1 2 = 0

como temos que o formato da equação é o mesmo, e que u 1 ( x , y ) é solução, podemos garantir que c 1 u 1 ( x , y ) também é solução! Note que trocar a constante ou a função não muda o problema em nada! Portanto, mais uma alternativa já era! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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