Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

UNICAMP, Cálculo 3, P3 2011.1, Questão 4

( a ) Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

u x x + x y   u y y = 0

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

Passo 1

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , y = X x Y y

Com a separação, teremos:

u x x x , y = X ' ' ( x ) Y ( y )

  u y y x , y = X x Y ' ' ( y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, nossa equação se torna

u x x + x y   u y y = 0

X ' ' x Y y + x . y . X x Y ' ' y = 0

X ' ' x Y y = - x . y . X x Y ' ' y

X ' ' ( x ) x . X x = - Y ' ' y y Y y = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em y ):

X ' ' x + λ . x . X x = 0 y . Y ' ' y - λ . Y y = 0

o que separa a EDP em um sistema de EDOs.

Passo 3

O princípio da superposição será valido para essa EDP, uma vez que a equação é linear(não aparece nenhuma função de u na equação) e homogênea.

Resposta

X ' ' x + λ . x . X x = 0 y . Y ' ' y - λ . Y y = 0 ; Sim.

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