( a ) Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

u x x + x y   u y y = 0

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

Passo 1

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , y = X x Y y

Com a separação, teremos:

u x x x , y = X ' ' ( x ) Y ( y )

  u y y x , y = X x Y ' ' ( y )

Passo 2

Portanto, nossa equação se torna

u x x + x y   u y y = 0

X ' ' x Y y + x . y . X x Y ' ' y = 0

X ' ' x Y y = - x . y . X x Y ' ' y

X ' ' ( x ) x . X x = Y ' ' y y Y y = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em y ):

X ' ' x + λ . x . X x = 0 y . Y ' ' y + λ . Y y = 0

o que separa a EDP em um sistema de EDOs.

Passo 3

Porém, a combinação linear de soluções não é uma solução, pois a equação não é linear (ela apresenta um termo não linear x y u y y ). Isto é, o princípio de superposição não se aplica.

Resposta

X ' ' x + λ . x . X x = 0 y . Y ' ' y + λ . Y y = 0 ; Não.

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