Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

a )   ∂ x u = 3 x 2 + y 2 ,     u = u x , y

Passo 1

Faaaala galerinha do bem, tudo certo por aí?

Nessa questão recebemos uma equação diferencial parcial (EDP), envolvendo uma função u de duas variáveis: x e y . A EDP é dada por:

∂ x u = 3 x 2 + y 2

O problema nos pede pra determinar a solução geral dessa equação.

Gente, quando queremos determinar uma solução geral, estamos mais preocupados com o formato da equação. Isto é, talvez a gente não vai conseguir determinar apenas uma função em específico que atenda à EDP dada (até porque isso não é possível, pois faltam informações como condições iniciais e condições de fronteira).

Mas, iremos determinar um conjunto de soluções possíveis que chamamos de solução geral. Sacaram?

Nessa equação, a ideia principal é integrarmos em d x dos dois lados da EDP dada. Como teremos uma integral indefinida precisaremos analisar quem deve ser a constante gerada.

Vem comigo que vai ficar mais claro 😉

Passo 2

Bom, como comentamos no passo anterior, vamos integrar a equação dos dois lados. Temos:

d u d x = 3 x 2 + y 2

Integrando, vem que:

∫ d u = ∫ 3 x 2 + y 2 d x + C

onde C é uma constante em relação a variável de integração x .

Ou seja, imagina que fôssemos derivar parcialmente em relação a x o resultado da equação acima (que foi o que o enunciado nos deu: ∂ u / ∂ x ).

Sendo C uma função apenas de y , sua derivada parcial com relação a x seria nula, pois para x ela é uma constante. Logo, na realidade, podemos afirmar que:

C = h ( y )

E, não conseguimos extrair mais informações sobre h ( y ) (é nesse contexto que falamos de solução geral).

Bom, voltando para a nossa equação, temos:

∫ d u = ∫ 3 x 2 + y 2 d x + h ( y )

Resolvendo a primeira integral:

∫ d u = u

Agora resolvendo a segunda integral:

∫ 3 x 2 + y 2 d x = x 3 + y 2 x

Juntando tudo, vem:

u x , y = x 3 + x y 2 + h ( y )

Prontinho galera! Essa é a solução geral da nossa EDP.

Conseguiram entender direitinho? Responde Aí!

Resposta

u x , y = x 3 + x y 2 + h ( y )

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