Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

a ) Esta EDP é não linear. Explique porquê.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos explicar a razão pela qual a seguinte EDP

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

é não linear. Para isso, vamos ver o que define a linearidade de uma função deste tipo! Saca só!

Passo 2

Uma equação diferencial parcial é formada por parâmetros (constantes ou não) e diferenciações de uma função u ( x , y ) das variáveis x e y . A linearidade é uma propriedade que pode ser determinada através de

a 1 u x x + a 2 u x y + a 3 u y x + a 4 u y y + a 5 u x + a 6 u y + a 7 u = f ( x , y )

note que todos os parâmetros a i ,   i = 1 . . . 7 (no exemplo particular acima que é uma equação de segunda ordem, terceira ordem apresentaria mais termos), são funções apenas das variáveis independentes ( x , y ) , e nada é função da variável dependente u ( x , y ) ou suas derivadas, se isso for respeitado, temos a linearidade. Em nosso caso, temos termos como produtos de derivadas

∂ x u ∂ y u

ou produto de derivadas por funções de u

- u ( ∂ x u + ∂ y u )

e funções do próprio u

u 2

sendo assim, ela é não linear! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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