Encontre a solução u : [ 0,4 ] × [ 0 , ∞ ) → R do seguinte problema de contorno:

u x x - u t = u ,   ( x , t ) ∈ ( 0,4 ) × ( 0 , ∞ )

u ( 0 , t ) = u ( 4 , t ) = 0 ,   t > 0

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,

onde f : [ 0,4 ] → R é a função

f ( x ) = x ,   s e   0 ≤ x < 2         e           f ( x ) = 0 ,   s e   2 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Nós temos em nosso enunciado um problema de contorno, o enunciado nos dá o intervalo de validade das variáveis x e t como u ( x , t ) : [ 0,4 ] × [ 0 , ∞ ) , ou seja, todo t positivo e x em um pequeno intervalo. Temos a definição de uma equação diferencial parcial dentro deste intervalo como

u x x - u t = u ,   ( x , t ) ∈ ( 0,4 ) × ( 0 , ∞ )           ( 1 )

Dada uma condição de contorno da forma

u ( 0 , t ) = u ( 4 , t ) = 0 ,   t > 0           ( 2 )

Assim como a condição inicial

u ( x , 0 ) = f ( x )           ( 3 )

em que temos f ( x ) = x ,   s e   0 ≤ x < 2 e f ( x ) = 0 ,   s e   2 ≤ x ≤ 4 . Para resolver este problema vamos tentar trabalhá-lo utilizando o método de separação de variáveis! Ou seja, vamos considerar que

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )           ( 4 )

e buscaremos funções X ( x ) e T ( t ) que resolvam o sistema tendo em vista as condições de contorno e a condição inicial! Vamos começar por aí! Vem comigo!

Passo 2

Para aplicar a equação (4) na equação (1) precisamos derivar a equação (4) parcialmente em x e parcialmente em t , da seguinte maneira

u x x = ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 = X ' ' ( x ) T ( t )

e, da mesma forma, temos que

u t = ∂ u ( x , t ) ∂ t = X ( x ) T ' ( t )

Substituindo ambos os resultados e a equação (4) na equação (1), temos que

X ' ' ( x ) T ( t ) - X ( x ) T ' ( t ) = X ( x ) T ( t )

Para concluir o método de separação de variáveis, vamos dividir ambos os lados da equação acima por X ( x ) T ( t ) , de forma a obter

X ' ' ( x ) X ( x ) - T ' ( t ) T ( t ) = 1

Ou, separando as variáveis, temos que

X ' ' ( x ) X ( x ) = 1 + T ' ( t ) T ( t )           ( 5 )

A partir desta equação podemos obter soluções para cada uma de nossas funções! Note que temos que um lado depende apenas de x e o outro apenas de t , você lembra o que fazer nestas condições? Vem cá que te conto!

Passo 3

Como cada lado da equação (5) depende de uma variável independente, temos que ambos os lados devem ser iguais a uma mesma constante, portanto, a equação (5) é equivalente a um sistema de duas equações diferenciais da seguinte forma

X ' ' ( x ) X ( x ) = λ           ( 6 )

e também temos que

1 + T ' ( t ) T ( t ) = λ           ( 7 )

Vamos buscar soluções para ambas as equações (6) e (7) e aplicar as condições de contorno e a condição inicial! Bora lá!

Passo 4

Começando com a equação (6), podemos reescrevê-la um pouquinho como

X ' ' ( x ) = λ X ( x )

ou, colocando todo mundo do lado esquerdo da equação, temos

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0           ( 8 )

A equação (8) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, nós podemos resolver este tipo de EDO obtendo raízes do seguinte polinômio característico

r 2 - λ = 0

Vamos primeiro analisar o caso em que λ > 0 , teremos duas raízes reais e distintas da forma

r = ± λ

E, podemos escrever a solução de nossa equação diferencial como

X ( x ) = C 1 e λ x + C 2 e - λ x           ( 9 )

Ainda precisamos encontrar quem são as constantes C 1 e C 2 e para isso, precisaremos utilizar a condição de contorno! Saca só!

Passo 5

A equação (2) nos diz que

u ( 0 , t ) = u ( 4 , t ) = 0 ,   t > 0

Ou seja, temos que usando a equação (4), podemos escrever

u ( 0 , t ) = X ( 0 ) T ( t ) = 0

Note que considerar T ( t ) = 0 é uma solução trivial, portanto, é preferível considerar a condição X ( 0 ) = 0 . Podemos fazer o mesmo para a outra condição de contorno

u ( 4 , t ) = X ( 4 ) T ( t ) = 0

e da mesma forma, temos que X ( 4 ) = 0 . Aplicando ambas condições na equação (9), temos que

X ( 0 ) = C 1 e 0 + C 2 e 0 = 0

ou, equivalentemente

C 1 + C 2 = 0           ( 10 )

E, também temos que

X ( 4 ) = C 1 e 4 λ + C 2 e - 4 λ = 0           ( 11 )

Como temos que λ > 0 , a única solução possível aqui é C   1 = C 2 = 0 , portanto, X ( x ) = 0 e esta é uma solução trivial! Ou seja, indesejada! Vamos avaliar as diferentes possibilidades para λ agora!

Passo 6

Temos que para λ = 0 , o polinômio característico nos dá raízes da forma

r = 0

está é uma raíz de multiplicidade 2, e portanto, a solução pode ser escrita como

X ( x ) = C 1 e 0 + C 2 x e 0 = C 1 + C 2 x

Aplicando as condições iniciais X ( 0 ) = 0 e X ( 4 ) = 0 , temos que

0 = C 1

e, também temos que

C 1 + 4 C 2 = 0

De forma, que novamente, C 1 = C 2 = 0 , e novamente, uma solução trivial, só nos resta uma alternativa! Vamos tentar λ < 0 !

Passo 7

Considerando λ < 0 iremos obter raízes da forma

r = ± i λ

Que nos resulta em uma solução da forma

X ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )

Se aplicarmos novamente as condições iniciais, temos que

0 = C 2

e também que

0 = C 1 s e n ( 4 λ )

Em que C 1 = 0 nos dá a solução trivial! Mas, temos que 4 λ = n π nos dá um conjunto de soluções possíveis! Ou seja, temos que

λ = n 2 π 2 16

Ou seja, temos uma solução da forma

X n ( x ) = C n s e n ( n π x / 4 )           ( 12 )

Como apenas achamos uma solução não trivial para λ = n 2 π 2 / 16 é válido encontramos a solução para T ( t ) utilizando a equação (7) apenas para este caso! Vamos fazer isso!

Passo 8

Relembrando a equação (7), e usando λ = n 2 π 2 / 16 , temos que

1 + T n ' ( t ) T n ( t ) = n 2 π 2 16

Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, e podemos reescrevê-la da seguinte forma

1 T n ( t ) d T n ( t ) d t = n 2 π 2 16 - 1

Ou, multiplicando os dois lados por d t , temos que

d T n ( t ) T n ( t ) = ( n 2 π 2 16 - 1 ) d t

Que pode ser integrada em ambos os lados, resultando em

l n ( T n ( t ) ) = ( n 2 π 2 16 - 1 ) t + C

Aplicando a função exponencial de ambos os lados, temos que

T n ( t ) = K e ( n 2 π 2 16 - 1 ) t           ( 13 )

Vamos escrever então a nossa solução u ( x , t ) !

Passo 9

Se utilizarmos a equação (4), que diz que u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) , temos que podemos escrever

u n ( x , t ) = C n s e n ( n π x / 4 ) e ( n 2 π 2 / 16 - 1 ) t

Ou, pelo princípio da superposição, temos que

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ C n s e n ( n π x / 4 ) e ( n 2 π 2 / 16 - 1 ) t

Para encontrar os parâmetros C n precisamos aplicar as condições iniciais que estão na forma u ( x , 0 ) = f ( x ) , em que f ( x ) = x ,   s e   0 ≤ x < 2 e f ( x ) = 0 ,   s e   2 ≤ x ≤ 4 . Aplicando isto na solução obtida acima, temos que u ( x , t ) tem dois formatos dependendo de seu intervalo

x = ∑ n = 1 ∞ C n s e n ( n π x / 4 ) ,   s e   0 ≤ x < 2

Ou, temos que

0 = ∑ n = 1 ∞ C n s e n ( n π x / 4 ) ,   s e   2 ≤ x ≤ 4

Em ambos os intervalos temos que C n será o coeficiente de uma série de Fourier, em particular, o coeficiente relacionado à função seno. Vamos calcular estes coeficientes e dizer adeus a este problema!

Passo 10

Temos que o coeficiente C n é dado por

C n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s e n ( n π x / L ) d x

Nós temos que para o intervalo [ 2,4 ] , f ( x ) = 0 , portanto, temos que C n = 0 . No entanto, para o intervalo [ 0,2 ] , temos que L = 4 e f ( x ) = x , ou seja, devemos resolver a seguinte integral

C n = 2 4 ∫ 0 2 x s e n ( n π x / 4 ) d x = 1 2 ∫ 0 2 x s e n ( n π x / 4 ) d x

Integrais que são polinômios vezes uma função trigonometria usualmente são convenientemente resolvidas integrando por partes. Se usarmos a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica e Exponencial) para escolhermos a prioridade da escolha de nosso u , temos que

u = x e d u = d x

e também temos que

d v = s e n ( n π x / 4 ) d x   e   v = - 4 n π c o s ( n π x / 4 )

Se aplicarmos a seguinte fórmulinha para a integração por partes

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

Obtemos que

∫ 0 2 x s e n ( n π x / 4 ) d x = - 4 n π c o s ( n π x / 4 ) x | 0 2 + 4 n π ∫ 0 2 c o s ( n π x / 4 ) d x           ( 14 )

A integral restante pode ser identificada diretamente como uma integral conhecida, temos que

∫ 0 2 c o s ( n π x / 4 ) d x = 4 n π s e n ( n π x / 4 ) | 0 2 = 4 n π s e n ( n π / 2 )

Substituindo este resultado na equação (14), temos que

∫ 0 2 x s e n n π x 4 d x = - 8 n π cos ⁡ n π 2 + 4 n π 4 n π s e n n π 2

= 16 ( n π ) 2 s e n ( n π / 2 ) - 8 n π c o s ( n π / 2 )             ( 15 )

Temos então que

C n = 16 ( n π ) 2 s e n ( n π / 2 ) - 8 n π c o s ( n π / 2 )  

Ou seja, a nossa solução é da seguinte forma

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 π 2 s e n n π 2 - 8 n π c o s n π 2 s e n ( n π x / 4 ) e ( n 2 π 2 x / 16 - 1 ) t

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 π 2 s e n n π 2 - 8 n π c o s n π 2 s e n ( n π x / 4 ) e ( n 2 π 2 x / 16 - 1 ) t

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