O problema a seguir

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

( b ) Para quais valores de λ esse problema tem solução? Determine essas soluções.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra

E D   ∂ t u = ∂ 2 x u , 0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   ∂ x u ( 0 , t ) = 0   ∂ x u ( 1 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 1 .

esta é uma barra de comprimento L = 1 , com distribuição inicial de temperatura dada por u ( x , 0 ) = f ( x ) e extremidades isoladas. Na última alternativa encontramos que ao aplicar o método de separação de variáveis usando uma solução fatorada da forma

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )

obtemos que a função X ( x ) deveria obedecer o problema de fronteira

d 2 d x 2 [ X ( x ) ] - λ X ( x ) = 0 em que d d x [ X ( 0 ) ] = 0 e d d x [ X ( 1 ) ] = 0

essa alternativa pede para indicarmos para quais valores de λ é possível encontrar uma solução não-trivial! Vamos testar diferentes intervalos possíveis para λ ∈ ℝ . Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar soluções em que λ > 0 , neste caso nosso polinômio característico pode ser escrito como

r 2 - λ = 0

e, portanto, temos raízes reais e distintas da forma

r ± = ± λ

com raízes desta forma, temos que a solução da equação diferencial de segunda ordem homogênea se torna

X ( x ) = C 1 e λ x + C 2 e - λ x

Vamos tentar aplicar as condições de fronteira!

Passo 3

Como nossas condições foram dadas sobre as derivadas, precisamos derivar a nossa solução, de forma que obtemos

d d x [ X ( x ) ] = C 1 λ e λ x - C 2 λ e - λ x

usando as condições de fronteira obtemos duas equações para as constantes

0 = C 1 λ - C 2 λ         ( 1 )

e, também

0 = C 1 λ e λ - C 2 λ e - λ           ( 2 )

da equação ( 1 ) obtemos que C 1 = C 2 , e desta forma, temos que a equação ( 2 ) se torna

0 = C 1 λ [ e λ - e - λ ]

a expressão acima só é zero quando λ = 0 , como λ > 0 , temos que C 1 deve ser nulo. Então nestas condições temos que λ > 0 tem apenas a solução trivial!

Passo 4

Vamos tentar agora λ = 0 , temos que o polinômio característico agora tem raízes iguais da forma

r ± = 0

e, portanto a solução é da forma

X ( x ) = C 1 + C 2 x

assim como fizemos no passo anterior, derivando e aplicando as condições de fronteira, obtemos que

C 2 = 0

e o valor de C 1 é totalmente arbitrário, mas C 1 ≠ 0 , ou teremos uma solução trivial. Se lembrar do método de separação de variáveis, a evolução temporal é dada por

1 T ( t ) d d t T ( t ) = λ

com λ = 0 , você obtém que

d d t T ( t ) = 0

ou seja, temos que X ( x ) é constante, assim como T ( t ) , sendo assim, nosso resultado é uma constante arbitrária. Isso é uma solução, mas não desejável, já que não nos dá informação sobre o problema físico em si! Vamos à última possibilidade.

Passo 5

Agora considerando que λ < 0 , temos que nosso polinômio característico terá raízes complexas conjugadas da forma

r ± = ± i | λ |

ou seja, a solução será uma combinação de senos e cossenos da forma

X ( x ) = C 1 s e n ( | λ | x ) + C 2 c o s ( | λ | x )

derivando, temos que

d d x [ X ( x ) ] = | λ | C 1 c o s ( | λ | x ) - | λ | C 2 s e n ( | λ | x )

novamente, temos duas equações ao aplicar as condições de fronteira

0 = | λ | C 1

e

0 = | λ | C 1   c o s ( | λ | ) - | λ | C 2 s e n ( | λ | )

da primeira expressão obtemos C 1 = 0 , e portanto a segunda nos dá a relação

C 2 s e n ( | λ | ) = 0

se escolhermos C 2 = 0 , temos que a solução é trivial, portanto, para obter uma solução diferente, analisamos quando o seno se anula, isso ocorre para

| λ | = n π

ou simplesmente

| λ | = n 2 π 2

Temos soluções então da forma

X n ( x ) = C n c o s ( n π x )

Essa alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Te vejo jajá!

Resposta

λ > 0 , apenas solução trivial. λ = 0 , solução trivial ou solução constante. λ < 0 , solução da forma X n ( x ) = C n c o s ( n π x ) .

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