Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

UFRJ, Cálculo 4, P2 2014.1, Questão 4

Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

2 u t 2 + 4 u = 2 u x 2           0 < x < 1 ,     t > 0

  1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma u x , t = X x T ( t ) e que satisfaçam u 0 , t = u 1 , t = 0 .
  2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais u x , 0 = f ( x ) e u t x , 0 = 0 sendo f ( x ) uma função contínua em 0 x 1 , com derivada seccionalmente contínua em [ 0,1 ] e satisfazendo f 0 = f 1 = 0 , determinar a solução u ( x , t ) .

Passo 1

Letra a)

Primeiro precisamos fazer a separação de variáveis.

Beleza, mas essa não é a Equação de Onda que estamos acostumados a ver, né? Tem um termo 4 u ali a mais! E agora? Vamos fazer exatamente o mesmo que temos feito até aqui.

Procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na Equação de Onda

X x . T ' ' t + 4 X x . T ( t ) = X ' ' x . T t

Agora o que a gente fazia era passar tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, né? Faremos isso:

X x [ T ' ' t + 4 T ( t ) ] = X ' ' x . T t

T ' ' t + 4 T t T t = X ' ' x X x

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

T ' ' t + 4 T t T t = X ' ' x X x = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + ( 4 + λ ) T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0                 X 0 . T t 0 = 0                 X 0 = 0

u 1 , t = 0                 X 1 . T t 0 = 0                 X 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X 1 = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 1 = c 1 e - λ + c 2 e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e - λ - c 1 e - - λ = 0

c 1 ( e - λ - e - - λ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 1 = c 1 + c 2 = 0

Isso nos dá

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos β x + c 2 e α x sen β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos λ x + c 2 sen λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 cos 0 + c 2 sen 0 = 0

c 1 = 0

X 1 = c 1 cos λ + c 2 sen λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3

λ = n π

λ n = n π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen n π x

Esses são os autovetores X n correspondentes aos autovalores λ n . Não escrevemos a constante c 2 por convenção, lembre-se disso!

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + ( 4 + λ ) T t = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior), não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + 4 + λ = 0

r = ± - 4 + λ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i 4 + λ

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos 4 + λ t + c 2 sen 4 + λ t

Certo? Então temos soluções do tipo u x , t = X x . T ( t ) onde

X n x = sen n π x

T t = c 1 cos 4 + n 2 π 2 t + c 2 sen 4 + n 2 π 2 t

Passo 4

Letra b)

Agora temos as condições adicionais

u x , 0 = f ( x )

u t x , 0 = 0

A condição que é uma função, nós deixamos por último. Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis na seguinte condição:

u t x , 0 = 0

X x 0 T ' 0 = 0                     T ' 0 = 0

Essa é a condição que temos que usar na solução da EDO em t , para nos livramos daquelas constantes arbitrárias. Temos:

T ' ( t ) = - c 1 4 + n 2 π 2 sen 4 + n 2 π 2 t + c 2 4 + n 2 π 2 cos 4 + n 2 π 2 t

T ' 0 = c 2 4 + n 2 π 2 0 = 0

c 2 = 0

Certo? Então podemos escrever:

T n t = cos 4 + n 2 π 2 t

Agora sim, conseguimos nos livrar das constantes. Esses são os autovetores T n . Nossa solução fundamental fica:

u ( x , t ) = sen n π x cos 4 + n 2 π 2 t

Passo 5

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Aquelas são as soluções fundamentais u n ( x , t ) que nós encontramos. Nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, não é? Bom, com uma série nada mais é do que uma combinação linear, podemos escrever:

u x , t = n = 1 b n sen n π x cos 4 + n 2 π 2 t  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u x , 0 = f ( x ) .

  u x , 0 = n = 1 b n sen n π x   = f ( x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de f ( x ) , podemos dizer que:

b n = 2 0 1 f x s e n   n π x d x

Esse 1 veio do denominador do seno! É o período da série, o comprimento da onda, ok?

Pronto, essa é a solução do problema!

Resposta

u x , t = n = 1 b n sen n π x cos 4 + n 2 π 2 t  

Onde

b n = 2 0 1 f x s e n   n π x d x

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