Descreva como você aplica o esquema de separação de variáveis no seguinte problema:

u x x + u x = t u t 0 < x < π ,       t > 0 u 0 , t = 0 t ≥ 0 u x π , t = u ( π , t ) t ≥ 0 u x , 0 = f ( x ) 0 ≤ x ≤ 1

Formule o problema de valores iniciais, sem resolver. Considere que a solução vem dada por X n ( x ) e λ n com n = 1,2 , …   A seguir formule a forma geral da solução geral.

Passo 1

Vamos lá galera parece ser um pouco difícil, mas usando o método da separação de variáveis vai nos ajudar bastante. Assim:

X ' ' x T t + X ' x T t = t X x T ' t   ⟹ X ' ' x + X ' x T t = t X x T ' t

Separando:

X ' ' x + X ' ( x ) X x = t T ' t T t = - λ

Assim, podemos escrever:

X ' ' + X ' + λ X = 0

t T ' + λ T = 0

Pronto, agora chegamos a duas equações e vamos proceder do jeito que já conhecemos, ok?

Passo 2

Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de x :

u x π , t = u ( π , t )         →           X ' π ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = X π ⋅ T t ⏟ ≠ 0           →       X ' π = X π

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser

X ' ' + X ' + λ X = 0 X 0 = 0 X ' π = X π

Como no enunciado ele nos diz que é dado as soluções dessa condição de contorno, vamos usar normalmente X n   e   λ n !

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em t , temos:

t T ' + λ T = 0

A nossa solução aqui vai ser

T n t = e - λ

Substituindo os valores de λ que achamos vamos ter

T n t = e - λ n

Agora vamos ter que u x , t vai ser

u n x , t = X n ( x ) e - λ n

Essa é a solução fundamental u n , as combinações lineares satisfazem a EDO, então a solução vai ser

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n X n ( x ) e - λ n

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n X n ( x ) e - λ n

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