Determine a solução u ( x , t ) do problema:

u x x x , t = 4 u x , t + u t t x , t           x ∈ 0,1 , t ∈ 0 , ∞ , u 0 , t = u 1 , t = 0                                                                                           t ∈ 0 , ∞ , u x , 0 = x 1 - x                                                                                                   x ∈ 0,1 , u t x , 0 = 0           ��                                                                                                                 x ∈ 0,1 ,

∂ 2 u ∂ t 2 + 4 u = ∂ 2 u ∂ x 2         ∀   0 < x < 1 ,   ∀   t > 0

  1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma u x , t = X x T ( t ) e que satisfaçam u 0 , t = u 1 , t = 0 .
  2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais u x , 0 = f ( x ) e ∂ u ∂ t x , 0 = 0 sendo f ( x ) uma função contínua em 0 ≤ x ≤ 1 , com derivada seccionalmente contínua em [ 0,1 ] e satisfazendo f 0 = f 1 = 0 , determinar a solução u ( x , t ) .

Passo 1

Primeiro precisamos fazer a separação de variáveis.

Beleza, mas essa não é a Equação de Onda que estamos acostumados a ver, né? Tem um termo 4 u ali a mais! E agora? Vamos fazer exatamente o mesmo que temos feito até aqui.

Procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na Equação de Onda

X x . T ' ' t + 4 X x . T ( t ) = X ' ' x . T t

Agora o que a gente fazia era passar tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, né? Faremos isso:

X x [ T ' ' t + 4 T ( t ) ] = X ' ' x . T t

T ' ' t + 4 T t T t = X ' ' x X x

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

T ' ' t + 4 T t T t = X ' ' x X x = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + ( 4 + λ ) T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

u 1 , t = 0           →       X 1 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 1 = 0

Passo 2

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X 1 = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 1 = c 1 e - λ + c 2 e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e - λ - c 1 e - - λ = 0

c 1 ( e - λ - e - - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 1 = c 1 + c 2 = 0

Isso nos dá

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X 1 = c 1 cos ⁡ λ + c 2 sen ⁡ λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π

λ n = n π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x

Esses são os autovetores X n correspondentes aos autovalores λ n . Não escrevemos a constante c 2 por convenção, lembre-se disso!

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + ( 4 + λ ) T t = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior), não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + 4 + λ = 0

r = ± - 4 + λ ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i 4 + λ

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ 4 + λ t + c 2 sen ⁡ 4 + λ t

Certo? Então temos soluções do tipo u x , t = X x . T ( t ) onde

X n x = sen ⁡ n π x

T t = c 1 cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t + c 2 sen ⁡ 4 + n 2 π 2 t

Passo 4

Agora temos as condições adicionais

u x , 0 = x ( 1 - x )

∂ u ∂ t x , 0 = 0

A condição que é uma função, nós deixamos por último. Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis na seguinte condição:

u t x , 0 = 0

X x ⏟ ≠ 0 T ' 0 = 0           →           T ' 0 = 0

Essa é a condição que temos que usar na solução da EDO em t , para nos livramos daquelas constantes arbitrárias. Temos:

T ' ( t ) = - c 1 4 + n 2 π 2 sen ⁡ 4 + n 2 π 2 t + c 2 4 + n 2 π 2 cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t

T ' 0 = c 2 4 + n 2 π 2 ⏟ ≠ 0 = 0

c 2 = 0

Certo? Então podemos escrever:

T n t = cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t

Agora sim, conseguimos nos livrar das constantes. Esses são os autovetores T n . Nossa solução fundamental fica:

u ( x , t ) = sen ⁡ n π x cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t

Passo 5

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Aquelas são as soluções fundamentais u n ( x , t ) que nós encontramos. Nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, não é? Bom, com uma série nada mais é do que uma combinação linear, podemos escrever:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u x , 0 = x ( 1 - x ) .

  u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x   = x ( 1 - x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de f x = x ( 1 - x ) , podemos dizer que:

b n = 2 ∫ 0 1 x 1 - x s e n   n π x d x

Esse 1 veio do denominador do seno! É o período da série, o comprimento da onda, ok?

Passo 6

Resolvendo essa integral:

b n = 2 ∫ 0 1 ( x - x 2 ) s e n   n π x d x

Vamos integrar por partes:

u = x - x 2       →             u ' = 1 - 2 x

v ' = s e n   n π x               →             v = - 1 n π cos ⁡ ( n π x )

b n = 2 - x - x 2 1 n π cos ⁡ ( n π x ) 0 1 ⏟ 0 + 1 n π ∫ 0 1 ( 1 - 2 x ) cos ⁡ ( n π x ) d x

= 2 1 n π ∫ 0 1 ( 1 - 2 x ) cos ⁡ ( n π x ) d x =

Integrando por partes novamente:

u = 1 - 2 x           →             u ' = - 2

v ' = cos ⁡ ( n π x )               →             v = 1 n π sen ⁡ ( n π x )

b n = 2 n π 1 - 2 x 1 n π sen ⁡ ( n π x ) 0 1 ⏟ 0 + 2 n π ∫ 0 1 sen ⁡ ( n π x ) d x

b n = 4 n 2 π 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( n π x ) d x

b n = - 4 n 3 π 3 cos ⁡ ( n π x ) 0 1

b n = - 4 n 3 π 3 cos ⁡ n π x - 1 = 4 1 - - 1 n n 3 π 3

Levando para nossa resposta:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 4 1 - - 1 n n 3 π 3 sen ⁡ n π x cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t  

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 4 1 - - 1 n n 3 π 3 sen ⁡ n π x cos ⁡ 4 + n 2 π 2 t  

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