Encontre a solução

u : 0 , π × 0 , π → R

Da equação diferencial com condições de contorno abaixo:

u x x + u y y = u u x , 0 = 0 ,     u x , π = x π - x ,     x ∈ [ 0 , π ] u 0 , y = 0 ,     u π , y = 0 ,     y ∈ [ 0 , π ]

Passo 1

Vamos usar separação de variáveis aqui, de modo que escrevemos:

u x , y = X x Y y

Assim:

u x x = X ' ' x Y y

u y y = X x Y ' ' ( y )

E, substituindo na equação:

X ' ' x Y y + X x Y ' ' y = X x Y y

X ' ' Y + X Y ' ' = X Y

X ' ' X + Y ' ' Y = 1

E, assim, podemos reescrever:

X ' ' X = - Y ' ' - Y Y = λ

Passo 2

Assim, resolvemos o problema com a EDO na variável x :

X ' ' - λ X = 0

A sua equação característica dá:

r 2 - λ = 0

r = i | λ | ,       c o m   λ < 0

Portanto:

X x = C 1 cos ⁡ ( | λ | x ) + C 2 sen ⁡ ( | λ | x )

Passo 3

Vamos olhar para as condições iniciais e de contorno. Como nem X ( x ) nem Y ( y ) podem ser identicamente nulos, teremos:

u x , 0 = X x Y 0 = 0 → Y 0 = 0

u 0 , y = X 0 Y y = 0 → X 0 = 0

u π , y = X π Y y = 0 → X π = 0

Aplicando as condições em x :

X ( 0 ) = C 1 = 0

X π = C 2 sen ⁡ λ π = 0

Desta forma, como C 2 ≠ 0 , temos que

λ π = n π

E, assim,

λ = - n 2

Desta forma, escrevemos que uma solução é

X n x = C n sen ⁡ n x

Passo 4

Para a variável y :

Y ' ' - 1 - λ Y = 0

Mas como λ = - n 2 :

Y ' ' - 1 + n 2 Y = 0

E a equação característica dá:

r 2 - 1 + n 2 = 0

r = ± 1 + n 2

Portanto:

Y y = K 1 e 1 + n 2   y + K 2 e - 1 + n 2   y

Passo 5

Com a condição inicial de y , teremos:

Y 0 = K 1 + K 2 = 0

K 2 = - K 1

Portanto:

Y y = K 1 e 1 + n 2   y - K 1 e - 1 + n 2   y

Y y = 2 i K 1   s e n h   ( 1 + n 2   y )

Que podemos escrever de forma genérica como

Y n y = K n   s e n h   ( 1 + n 2   y )

Passo 6

Combinando os resultados:

u n x , y = X n x Y n ( y )

u n x , y = A n   s e n h   ( 1 + n 2   y ) sen ⁡ n x

De modo que a solução geral é uma combinação linear dada por

u x , y = ∑ n = 1 ∞ u n x , y

u x , y = ∑ n = 1 ∞ A n   s e n h   ( 1 + n 2   y ) sen ⁡ n x

Passo 7

Finalmente, sabemos que

u x , π = x π - x = f ( x )

Assim,

u x , π = ∑ n = 1 ∞ A n   s e n h   ( 1 + n 2   π ) sen ⁡ n x

E reconhecemos os termos da série de Fourier como

A n   s e n h   1 + n 2   π = 1 π ∫ - π π f ( x ) sen ⁡ n x   d x

A n   s e n h   1 + n 2   π = 2 π ∫ 0 π x ( π - x ) sen ⁡ n x   d x

A n   s e n h   1 + n 2   π = 2 ∫ 0 π x sen ⁡ n x   d x - 2 π ∫ 0 π x 2 sen ⁡ n x   d x

Passo 8

Vamos usar aqui integração por partes:

∫     x ⏟ u   sen ⁡ n x ⏟ v '   d x = x ⏟ u - cos ⁡ n x n ⏟ v - ∫     1 ⏟ u ' .   - cos ⁡ n x n ⏟ v   d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + ∫     cos ⁡ n x n d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + sen ⁡ n x n 2

Aplicando partes duas vezes na outra integral, olha no que dá:

∫     x 2 ⏟ u   sen ⁡ n x ⏟ v '   d x = x 2 ⏟ u - cos ⁡ n x n ⏟ v - ∫     2 x ⏟ u ' .   - cos ⁡ n x n ⏟ v   d x

∫     x 2 sen ⁡ n x d x = - x 2 cos ⁡ n x n + 2 n ∫     x cos ⁡ n x d x

Mas...

∫     x ⏟ u   cos ⁡ n x ⏟ v '   d x = x ⏟ u sen ⁡ n x n ⏟ v - ∫     1 ⏟ u ' .   sen ⁡ n x n ⏟ v   d x

∫     x cos ⁡ n x d x = x sen ⁡ n x n - ∫     sen ⁡ n x n d x

∫     x cos ⁡ n x d x = x sen ⁡ n x n + cos ⁡ n x n 2

Então, substituindo:

∫     x 2 sen ⁡ n x d x = - x 2 cos ⁡ n x n + 2 n x sen ⁡ n x n + cos ⁡ n x n 2

∫     x 2 sen ⁡ n x d x = - x 2 cos ⁡ n x n + 2 x sen ⁡ n x n 2 + 2 cos ⁡ n x n 3

Passo 9

E, depois de tanto trabalho, tá na hora de resolver as integrais definidas lá de cima!

Para a primeira:

∫ 0 π x sen ⁡ n x = - x cos ⁡ n x n + sen ⁡ n x n 2 0 π

∫ 0 π x sen ⁡ n x = - π cos ⁡ n π n

E para a segunda:

∫ 0 π x 2 sen ⁡ n x   d x = - x 2 cos ⁡ n x n + 2 x sen ⁡ n x n 2 + 2 cos ⁡ n x n 3 0 π

∫ 0 π x 2 sen ⁡ n x   d x = - π 2 cos ⁡ n π n + 2 cos ⁡ n π n 3 - 2 n 3

∫ 0 π x 2 sen ⁡ n x   d x = - π 2 cos ⁡ n π n + 2 cos ⁡ n π - 2 n 3

Assim:

A n   s e n h   1 + n 2   π = 2 ∫ 0 π x sen ⁡ n x   d x - 2 π ∫ 0 π x 2 sen ⁡ n x   d x

A n   s e n h   1 + n 2   π = 2 - π cos ⁡ n π n - 2 π - π 2 cos ⁡ n π n + 2 cos ⁡ n π - 2 n 3

A n   s e n h   1 + n 2   π = - 2 π cos ⁡ n π n + 2 π cos ⁡ n π n - 2 π 2 cos ⁡ n π - 2 n 3

A n   s e n h   1 + n 2   π = - 4 π n 3 cos ⁡ n π - 1

A n   s e n h   1 + n 2   π = - 4 π n 3 - 1 n - 1

Passo 10

Hora das conclusões...

Vejamos: se n é par ( n = 2 k ,   k ∈ Z + ), a expressão - 1 n - 1 0 . Se n é ímpar ( n = 2 k + 1 ,   k ∈ Z + ), a expressão - 1 n - 1 - 2 .

Logo:

A n   s e n h   1 + n 2   π = 0 ,       n   p a r 8 π n 3 ,       n   í m p a r

E, portanto:

A n   = 0 ,       n   p a r 8 π n 3 1 s e n h     1 + n 2   π ,       n   í m p a r

Desta forma, fazendo o somatório em k , tal que n = 2 k + 1 :

u x , y = ∑ n = 1 ∞ A n   s e n h   ( 1 + n 2   y ) sen ⁡ n x

u x , y = ∑ k = 0 ∞ 8 π ( 2 k + 1 ) 3   s e n h   ( 1 + ( 2 k + 1 ) 2   y ) s e n h     1 + ( 2 k + 1 ) 2   π sen ⁡ 2 k + 1 x

u x , y = 8 π ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 3   s e n h   ( 1 + ( 2 k + 1 ) 2   y ) s e n h     1 + ( 2 k + 1 ) 2   π sen ⁡ 2 k + 1 x

Resposta

u x , y = 8 π ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 3   s e n h   ( 1 + ( 2 k + 1 ) 2   y ) s e n h     1 + ( 2 k + 1 ) 2   π sen ⁡ 2 k + 1 x

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