Encontre a solução u do problema

u x x x , y + u y y x , y = u x , y ,     x , y ∈ 0,4 × - 2,2 , u x , - 2 = u x , 2 = g x ,     x ∈ 0,4 , u 0 , y = u 4 , y = 0 ,     y ∈ - 2,2 ,

Onde g x : 0,4 → R é a função definida por

g x =   0 ,     0 ≤ x < 1 4 ,     1 ≤ x < 3 0 ,     3 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Vamos usar separação de variáveis aqui, de modo que escrevemos:

u x , y = X x Y y

Assim:

u x x = X ' ' x Y y

u y y = X x Y ' ' ( y )

E, substituindo na equação:

X ' ' x Y y + X x Y ' ' y = X x Y y

X ' ' Y + X Y ' ' = X Y

X ' ' Y = X Y - Y ' '

X ' ' X = Y - Y ' ' Y

E, assim, podemos reescrever:

X ' ' X = - Y ' ' - Y Y = λ

Passo 2

Assim, resolvemos o problema com a EDO na variável x :

X ' ' - λ X = 0

A sua equação característica dá:

r 2 - λ = 0

r = i | λ | ,       c o m   λ < 0

Portanto:

X x = C 1 cos ⁡ ( | λ | x ) + C 2 sen ⁡ ( | λ | x )

Passo 3

Vamos olhar para as condições iniciais e de contorno. Como nem X ( x ) nem Y ( y ) podem ser identicamente nulos, teremos:

u 0 , y = X 0 Y y = 0 → X 0 = 0

u 4 , y = X 4 Y y = 0 → X 4 = 0

Aplicando as condições em x :

X 0 = C 1 → C 1 = 0

X 4 = C 2 sen ⁡ 4 λ = 0

Desta forma, como C 2 ≠ 0 , temos que

4 λ = n π

E, assim,

λ = - n 2 π 2 16

Desta forma, escrevemos que uma solução é

X n x = C n sen ⁡ n π x 4

Passo 4

Para a variável y :

Y ' ' - 1 - λ Y = 0

Mas como λ = - n 2 π 2 16 :

Y ' ' - 1 + n 2 π 2 16 Y = 0

E a equação característica dá:

r 2 - 1 + n 2 π 2 16 = 0

r = ± 1 + n 2 π 2 16

Portanto:

Y y = K 1 e 1 + n 2 π 2 16   y + K 2 e - 1 + n 2 π 2 16   y

Passo 5

Combinando os resultados:

u n x , y = X n x Y n ( y )

u n x , y = K n e 1 + n 2 π 2 16   y + G n e - 1 + n 2 π 2 16   y sen ⁡ n π x 4

De modo que a solução geral é uma combinação linear dada por

u x , y = ∑ n = 1 ∞ u n x , y

u x , y = ∑ n = 1 ∞ K n e 1 + n 2 π 2 16   y + G n e - 1 + n 2 π 2 16   y sen ⁡ n π x 4

Passo 6

Finalmente, sabemos que

u x , - 2 = g ( x )

Assim,

u x , - 2 = ∑ n = 1 ∞ K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   sen ⁡ n π x 4

E reconhecemos os termos da série de Fourier como

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = 1 2 ∫ 0 4 g ( x ) sen ⁡ n π x 4   d x

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = 1 2 ∫ 0 1 0 sen ⁡ n π x 4   d x + ∫ 1 3 4 sen ⁡ n π x 4   d x + ∫ 3 4 0 sen ⁡ n π x 4   d x

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = 2 ∫ 1 3 sen ⁡ n π x 4   d x = - 8 n π cos ⁡ n π x 4 1 3

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = - 8 n π cos ⁡ n π 3 4 + 8 n π cos ⁡ n π 4

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Guarda essa relação aqui, que já vamos usá-la!

Passo 7

Usando a última informação de que:

u x , 2 = g x

Assim,

u x , 2 = ∑ n = 1 ∞ K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   sen ⁡ n π x 4

E reconhecemos os termos da série de Fourier como

K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = 1 2 ∫ 0 4 g ( x ) sen ⁡ n π x 4   d x

K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = 1 2 ∫ 0 1 0 sen ⁡ n π x 4   d x + ∫ 1 3 4 sen ⁡ n π x 4   d x + ∫ 3 4 0 sen ⁡ n π x 4   d x

K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = 2 ∫ 1 3 sen ⁡ n π x 4   d x = - 8 n π cos ⁡ n π x 4 1 3

K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = - 8 n π cos ⁡ n π 3 4 + 8 n π cos ⁡ n π 4

K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Passo 8

Agora podemos usar as duas relações. Então temos duas equações e duas incógnitas:

K n e - 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 K n e 2 1 + n 2 π 2 16   + G n e - 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Multiplicando a primeira equação por e 2 1 + n 2 π 2 16   e a segunda por e - 2 1 + n 2 π 2 16   :

K n + G n e 4 1 + n 2 π 2 16   = 8 e 2 1 + n 2 π 2 4   n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 K n + G n e - 4 1 + n 2 π 2 16   = 8 e - 2 1 + n 2 π 2 4   n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Finalmente, subtraindo a segunda da primeira:

G n e 4 1 + n 2 π 2 16   - G n e - 4 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 e 2 1 + n 2 π 2 16   - e - 2 1 + n 2 π 2 16  

G n e 8 1 + n 2 π 2 16   - G n = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 e 6 1 + n 2 π 2 16   - e 2 1 + n 2 π 2 16  

G n e 8 1 + n 2 π 2 16   - 1 = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 e 6 1 + n 2 π 2 16   - e 2 1 + n 2 π 2 16  

G n = 8 cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 e 6 1 + n 2 π 2 16   - e 2 1 + n 2 π 2 16   n π e 8 1 + n 2 π 2 16   - 1

K n = 8 cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 e 6 1 + n 2 π 2 16   - e 2 1 + n 2 π 2 16   n π e 8 1 + n 2 π 2 16   - 1

Disso a gente tira que K n = G n .

Passo 9

Agora a gente pode voltar lá no Y ( y ) e escrever bonitinha a solução:

Y y = K n e 1 + n 2 π 2 / 16   y + K n e - 1 + n 2 π 2 / 16   y = K n 2 cosh ⁡ 1 + n 2 π 2 16   y

Logo:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ 2 K n cosh ⁡ 1 + n 2 π 2 16   y sen ⁡ n π x 4

Sendo que:

2 K n cosh ⁡ 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Passo 10

Vamos reescrever esse cara aqui de maneira mais clara:

cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Lembre-se de que:

cos ⁡ 3 n π 4 = cos ⁡ n π - n π 4 = cos ⁡ n π cos ⁡ n π 4 - s e n n π s e n n π 4

cos ⁡ 3 n π 4 = - 1 n cos ⁡ n π 4

Então aquela expressão:

cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4 3 = cos ⁡ n π 4 1 - - 1 n = cos ⁡ n π 4 1 + - 1 n + 1

Passo 11

Hora das conclusões...

2 K n cosh ⁡ 2 1 + n 2 π 2 16   = 8 n π cos ⁡ n π 4 1 + - 1 n + 1

K n = 4 n π cos ⁡ n π 4 1 + - 1 n + 1 cosh ⁡ 2 1 + n 2 π 2 16  

Finalmente, nossa solução será:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ 4 n π cos ⁡ n π 4 1 + - 1 n + 1 cosh ⁡ 2 1 + n 2 π 2 16   cosh ⁡ 1 + n 2 π 2 16   y sen ⁡ n π x 4

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ 4 n π cos ⁡ n π 4 1 + - 1 n + 1 cosh ⁡ 2 1 + n 2 π 2 16   cosh ⁡ 1 + n 2 π 2 16   y sen ⁡ n π x 4

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