Encontre todas as soluções u da forma u x , y = X x Y ( y ) do problema

u x + u y = 2 x + y u ,     x , y ∈ R × R

Dica:

∫ X ' x X x d x = ln ⁡ X x + C

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo o que o enunciado pede né?!

u x , y = X x Y ( y )

u x = X ' x Y y

u y = X x Y ' ( y )

Colocando essas informações na EDP:

X ' x Y y + X x Y ' ( y ) = 2 x + y X x Y ( y )

Isolamos tudo que é X de um lado e tudo que é Y do outro agora:

X ' x Y y - 2 x X x Y ( y ) = 2 y Y y - Y ' y X x

X ' x - 2 x X x X x = 2 y Y y - Y ' y Y y = - λ

Passo 2

Vamos começar com o   X x :

X ' x - 2 x X ( x ) X x = - λ

Vamos olhar para nossa dica agora:

∫ X ' x X x d x = ln ⁡ X x + C

OPA! Conseguimos chegar bem perto disso aí na equação que temos:

X ' x - 2 x X ( x ) X x = X ' x X x - 2 x = - λ

Então:

X ' x X x = 2 x - λ

Agora podemos integrar essa lindeza dos dois lados:

∫ X ' x X x d x = ∫ 2 x - λ d x

A integral da direita vai ficar:

∫ 2 x - λ d x = 2 x 2 2 - λ x + C 1

E a integral da esquerda é justamente a nossa dica:

∫ X ' x X x d x = ln ⁡ X x + C 2  

Assim, vamos poder igualar:

∫ X ' x X x d x = ∫ 2 x - λ d x

ln ⁡ X x + C 2 = 2 x 2 2 - λ x + C 1

E podemos isolar (chamando C ≔ )

ln ⁡ X x = 2 x 2 2 - λ x + C 1 - C 2

X x = e 2 x 2 2 - λ x + C 1 - C 2

X x = e C 1 - C 2 ⋅ e 2 x 2 2 - λ x

Para ficar bonitinho, definimos: C ≔ e C 1 - C 2

Aí teremos: X x = C e 2 x 2 2 - λ x

Passo 3

Agora, vai acontecer algo muito semelhante com Y y . Como temos:

∫ X ' x X x d x = ln ⁡ X x + C

Então, também segue que:

∫ Y ' y Y y d y = ln ⁡ Y y + C

Dessa maneira, vamos ter:

2 y Y y - Y ' y Y y = - λ

Y ' y Y y = 2 y + λ

Portanto:

∫ Y ' y Y y d y = ∫ 2 y + λ d y

ln ⁡ Y y + C 3 = y 2 + λ y + C 4

Ou seja (Com K ≔ e C 4 - C 3 ):

Y y = K e y 2 + λ y

B x = 0

Passo 4

Então nossa solução é:

u x , y = X x Y y = C e x 2 - λ x K e y 2 + λ y

u x , y = E e x 2 + y 2 + λ y - x

Sendo justamente E ≔ C ⋅ K . Todas essas constantes são constantes gerais e que não podem ser determinadas pelas condições dadas, por isso fomos redefinindo de forma a deixar nossa solução mais limpa, ok?

Resposta

u x , y = E e x 2 + y 2 + λ y - x

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