Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Enunciado

Um canhão dispara uma bala, desde o terraço de um edifício, na posição (unidades SI):

r → 0 = 9 i + 4 j + 15 k

com velocidade inicial (unidades SI):

v → 0 = 13 i + 22,5 j + 15 k

em que o eixo dos z aponta na direção vertical, para cima, e com origem no chão. Admitindo que a resistência do ar pode ser desprezada, calcule a altura máxima atingida pela bala e a posição em que a bala bate no chão.

Obs: Pega a calculadora que cê pode precisar ;)

Passo 1

Usando o sistema de eixos definido no enunciado do problema como z na vertical, o vetor aceleração é  a → = - 9,8   k ^   m / s 2 , sendo a gravidade. A expressão do vetor velocidade em função de um instante t qualquer obtém-se a partir da equação das velocidades, né? Aquela lá:

v → = v → 0 - a t

Então vamo lá! Substituindo nossos dados, temos:

v → = 13 i + 22,5 j + 15 k - 9,8 k t

Juntando cada coordenada, temos:

v → = 13 ) i + ( 22,5 ) j + ( 15 - 9,8 t k

A altura máxima será atingida no instante em que a velocidade seja nula na vertical, ou seja, no nosso caso, quando a componente  v → z  da velocidade for nula. Show, né? Então devemos igualar a componente em z a 0.

15 - 9,8 t = 0

t = 15 9,8 = 1,531 s

Como queremos a altura máxima, temos que substiruir esse tempo na equação da posição na direção z:

H m a x = z 0 + v 0 z t + a z t 2 2

Substituindo os dados:

H m a x = 15 + 15 ( 1,531 ) + - 9,8 1,531 2 2

H m a x ≅ 26,5   m

Passo 2

Agora pra gente encontrar a posição onde a bala bate no chão, sabemos que a equação do espaço é dada por:

r → = r 0 + v → 0 t - a t 2 2

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k t - 9,8 k t 2 2

Para calcular o instante em que a bala bate no chão, ou seja, o instante onde a altura Z é igual a 0, calcula-se o tempo t em que a componente z da posição é igual a zero, né? :p Então vamo lá:

r z = 15 + 15 t - 4,9 t 2

Usando Bháskara nessa equaçãozinha do segundo grau, temos que:

t = 3,855 s

E pra gente descobrir a posição da bala nesse instante é só substituirmos esse valor de t na equação do espaço! Vamo nessa:

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k t - 9,8 k t 2 2

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k 3,855 - 9,8 k ( 3,855 ) 2 2

r → = ( 9 + 13.3,855   ) i + ( 4 + 22,5.3,855   ) j

r → = ( 5 9 , 12 i + 90.74 j )

Resposta

H m a x ≅ 26,5   m e r → = ( 5 9 , 12 i + 90.74 j )

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