Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Enunciado

As “lentes” de um microscópio eletrônico consistem em campos elétricos e magnéticos que controlam um feixe de elétrons. Como um exemplo da manipulação do feixe de elétrons, considere um elétron afastando-se da origem ao longo do eixo x no plano x y com velocidade inicial v 0 → = 3   .   10 6   i → . Sua aceleração pode ser decomposta em uma componente na mesma direção que a velocidade inicial, de módulo a x = 8   .   10 14   m / s 2 e outra no sentido perpendicular, com módulo a y = 1,6   .   10 15   m / s 2 .

Determine:

a) A expressão para a posição do elétron em função do tempo e a posição deste quando x = 0 , 01   m .

b) A expressão para a velocidade do elétron em função do tempo e a velocidade quando x = 0 , 01   m .

c) A velocidade escalar do elétron quando x = 0 , 01   m .

d) A direção da trajetória do elétron.

Passo 1

a)

Basta utilizar nossa já conhecida fórmula:

r = r 0 + v 0 t + a t 2 2

Para o eixo x :

r x = 0 + 3   .   10 6 t + 8   .   10 14 t 2 2

r x = 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2

Para o eixo y :

r y = 0 + 0   .   t + 1,6   .   10 15 t 2 2

r y = 8   .   10 14 t 2

Logo temos que:

r → t = 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2 i ^ + 8 .   10 14 t 2   j ^   ( m )

Quando r x = 0,01   m :

0,01 = 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2

Por bhaskara encontramos o valor de t :

t = - 3   .   10 6 ± 3   .   10 6 2 - 4   .   4   .   10 14   .   - 0,01 2   .   4   .   10 14

t = - 3   .   10 6 ± 25   .     10 12 8   .   10 14

Como o tempo não pode ser negativo, vamos ignorar o resultado negativo e considerar só o positivo:

t = - 3   .   10 6 + 5   .   10 6 8   .   10 14

t = 25   .   10 - 10   s

Agora é só substituir esse instante de tempo na equação da posição.

r → t = 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2 i ^ + 8 .   10 14 t 2   j ^   m

r → 25   .   10 - 10 = 0,01 i ^ + 8 .   10 14 25   .   10 - 10 2   j ^   ( m )

r → ( 25   .   10 - 10 ) = 0,01   i ^ + 0,005   j ^   ( m )

Passo 2

b)

Basta derivar a equação da posição:

v → t = d r → t d t = d d t ( 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2 i ^ + 8 .   10 14 t 2   j ^   )

v → t = 3   .   10 6 + 8   .   10 14 t i ^ + 16   .   10 14 t   j ^   m / s

Em x = 0 , 01   m descobrimos no item anterior que t = 25   .   10 - 10 s , então:

v → 25   .   10 - 10 = 3   .   10 6 + 8   .   10 14 .   25   .   10 - 10 i ^ + 16   .   10 14 .   25   .   10 - 10   j ^

v → 25   .   10 - 10 = 5   .   10 6   i ^ + 4   .   10 6   j ^   ( m / s )

Passo 3

c)

Já temos a velocidade vetorial, para achar a escalar é só tirar o módulo. Lembra da fórmula do módulo de um vetor?

v = v → = v x 2 + v y 2

v = 5   .   10 6 2 + 4   .   10 6 2

v = 41   .   10 6   m / s

Passo 4

d)

Basta encontramos o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x . Para isso é só imaginar um triângulo retângulo em que o cateto oposto é a componente v y e o cateto adjacente é a componente v x .

tan ⁡ θ = v y v x

tan ⁡ θ = 4   .   10 6 5   .   10 6

θ = arctan ⁡ 4 5

Resposta

a) r → t = 3   .   10 6 t + 4   .   10 14 t 2 i ^ + 8 .   10 14 t 2   j ^   ( m ) ; r → ( 25   .   10 - 10 ) = 0,01   i ^ + 0,005   j ^   ( m )

b) v → t = 3   .   10 6 + 8   .   10 14 t i ^ + 16   .   10 14 t   j ^   m / s ; v → 25   .   10 - 10 = 5   .   10 6   i ^ + 4   .   10 6   j ^   ( m / s )

c) v = 41   .   10 6   m / s

d) θ = arctan ⁡ 4 5

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