Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Enunciado

O trem A sai de uma estação a partir do repouso, rumo ao oeste, com aceleração constante de 0,5   m / s 2 . Já o trem B se move do norte para o sul com velocidade constante de 90   m / s , e passa por essa mesma estação 70 segundos após a partida do trem A . Considere o versos i ^ apontando para leste e o versor j ^ para o norte. Considere também a estação na origem do sistema de coordenadas, e considere o tempo inicial t = 0 no instante em que o trem A sai da estação.

d ) Escreva uma equação cuja solução dê o instante de tempo em que a distância entre os trens é mínima (não precisa resolver). Essa distância mínima ocorre antes da passagem do trem B pela estação? Justifique.

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

O enunciado nos descreve o movimento de dois trens, o trem A que tem uma aceleração de a → A = 0,5   m / s 2 , e a partir do repouso, se move para o oeste saindo de uma estação. O enunciado também indica a existência do trem B que vem do norte para o sul à uma velocidade constante de v → B = 90   m / s , chegando a estação 70   s depois que o trem A saiu! O esquema usando os versores indicados no enunciado é o seguinte

Na alternativa anterior nós obtivemos que o vetor posição relativa entre os dois trens é dada por

r → ( t ) = ( 90   t - 6300 )   j ^ - 0,25   t 2   i ^

esta expressão será útil nesta alternativa pois a distância entre os dois trens é dada pelo módulo do vetor acima! A distância mínima é obtida analisando a primeira e segunda derivadas no tempo para obter um ponto crítico de mínimo, como em cálculo 1 . Vamos fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor distância relativa, temos que

| r ( t ) → | = ( - 0,25   t 2 ) 2 + ( 90   t - 6300 ) 2 = 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2

Maravilha, e quais são os pontos críticos? Para isso, devemos ver quando a primeira derivada é zero, ou seja

d d t [ | r ( t ) → | ] = d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] = 0

Vamos precisar revisar como calcular essa derivada! Precisaremos usar a regra da cadeia e a regra do tombo! Vamos lá!

Passo 3

Primeiro, temos que a regra da cadeia é usada para funções compostas da forma

f ( t ) = g ( h ( t ) )

e, a derivada dessas funções é tal que

d d t [ g ( h ( t ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d t [ h ( t ) ]

em nosso caso, temos que g ( h ) = h com h ( t ) = 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 . Pela regra do tombo, podemos escrever que

d d h [ h ] = d d h [ h 1 / 2 ] = 1 2 h 1 / 2 - 1

ou, reescrevendo a expressão acima, temos

d d h [ h ] = 1 2 h = 1 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2

De forma que a regra da cadeia resulta em

d d t [ g ( h ( t ) ) ] = 1 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ]

Precisamos agora resolver a derivada que falta! Vamos lá!

Passo 4

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da soma é a soma das derivadas, portanto temos que

d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] = 0,2 5 2 d d t [ t 4 ] + d d t [ ( 90 t - 6300 ) 2 ]

Pela regra do tombo podemos resolver a primeira derivada para obter que

d d t [ t 4 ] = 4 t 4 - 1 = 4 t 3

para a segunda derivada, temos que usar a regra da cadeia novamente, mas agora, temos que g ( h ) = h 2 e h ( t ) = 90   t - 6300 . De forma que

d d h [ h 2 ] = 2 h 2 - 1 = 2 h

usando a regra do tombo, e também que

d d t [ h ( t ) ] = d d t [ 90 t - 6300 ] = 90 d d t [ t ] - d d t [ 6300 ]

que resulta em

d d t [ 90 t   - 6300 ] = 90

Juntando ambos os resultados, temos que a regra da cadeia é

d d t [ ( 90 t - 6300 ) 2 ] = 180 ( 90 t - 6300 )

e, portanto a derivada que precisamos resolver é

d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] = 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 )

Vamos voltar para a expressão do ponto crítico! Vem comigo!

Passo 5

Temos usando a derivada que calculamos no último passo que

d d t [ | r ( t ) → | ] = 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 = 0

nos dá o ponto crítico da distância entre os dois trens! Podemos simplificar a expressão acima multiplicando ambos os lados por 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 , de forma que obtemos o seguinte

4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) = 0

ou se dividirmos ambos os lados por 4 ( 0,2 5 2 ) , temos que

t 3 + 720 ( 90 t - 6300 ) = 0

Esta expressão nos dará o ponto crítico, podendo ser de máximo ou mínimo para a nossa distância! Para determinar se é um ponto crítico de mínimo, existe ainda mais uma condição que deve ser respeitada! Saca só!

Passo 6

Para que o ponto crítico encontrado seja um ponto de mínimo, é preciso que para o valor de t no qual a primeira derivada é nula, também tenhamos que

d 2 d t 2 [ | r ( t ) → | ] = d d t [ d d t [ | r ( t ) → | ] ] > 0

usando o resultado que obtivemos no último passo, temos que

d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] > 0

Aqui nós temos o quociente de duas funções da forma f ( t ) = g ( t ) / h ( t ) , a regra do quociente diz que

d d t [ g ( t ) h ( t ) ] = d d t [ g ( t ) ] h ( t ) - g ( t ) d d t [ h ( t ) ] [ h ( t ) ] 2

usando que g ( t ) = 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) e que h ( t ) = 2 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 , podemos escrever a seguinte relação

2 d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) - [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] 2 d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] 4 [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] > 0

Vamos tentar simplificar esta expressão! Belezinha? Vem comigo!

Passo 7

Primeiro, como o denominador da desigualdade é sempre positivo, podemos simplesmente multiplicar tudo por 4 [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] , o que simplifica a nossa desigualdade, temos que

2 d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 - [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] 2 d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] > 0

No passo anterior obtivemos que

d d t [ 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 ] = 0

quando avaliada nos pontos críticos, portanto, nos pontos que nos interessam, temos que

2 d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] 0,2 5 2 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 > 0

ou dividindo por 2 0,25 t 4 + ( 90 t - 6300 ) 2 , obtemos simplesmente que

d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] > 0

Vamos calcular a derivada do lado esquerdo! Vamos precisar aplicar a regra do tombo somente! Vem comigo!

Passo 8

Expandindo nossa derivada, temos que

d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] = 4 ( 0,2 5 2 ) d d t [ t 3 ] + 16200 d d t [ t ] - d d t [ 6300 ]

usando a regra do tombo, temos que

d d t [ 4 ( 0,2 5 2 ) t 3 + 180 ( 90 t - 6300 ) ] = 12 ( 0,2 5 2 ) t 2 + 16200 > 0

ou, simplesmente, temos que

t 2 + 21600 > 0

Maravilha! Estas são as duas relações que estabelecem que o nosso tempo é um instante de distância mínima! A desigualdade acima juntamente com a necessidade de que

t 3 + 720 ( 90 t - 6300 ) = 0

Como adendo da questão, SIM, isso ocorrerá antes de que o trem B chegue até a estação. Note que, antes de chegar a estação, o trem B tenta se aproximar do trem A , enquanto o mesmo se afasta, no entanto, após chegar a estação, ambos os trens estão se afastando! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A relação para o instante de tempo é t 3 + 720 ( 90 t - 6300 ) = 0 com t 2 + 21600 > 0 , e SIM, ocorrerá antes do trem B chegar a estação!

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