Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Enunciado

Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem O do plano x y , é determinada pelo vetor:

r → t =   x t i ^ + y t j ^ = 1 4 m s 3 t 3 i ^ + 1 m s 2 t 2 j ^

Com | | r → | | em metros ( m ) e t em segundos ( s ), determine:

a ) O vetor velocidade instantânea v → ( t ) e o vetor aceleração instantânea a → ( t ) em função do tempo.

b ) O vetor velocidade instantânea no ponto A e o vetor aceleração instantânea no ponto B , ambos os pontos estão indicados no gráfico abaixo. Neste gráfico, a curva contínua representa a trajetória da partícula, descrita através do vetor posição r → ( t )

c ) O vetor velocidade média v m → e o vetor aceleração média a m → , ambos entre os pontos A e B .

Passo 1

a )

Lembrando que o vetor velocidade nada mais é do que a derivada do vetor posição, portanto:

v → t = d d t 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

E por sua vez, a aceleração é a derivada da velocidade, então:

a → t = d d t 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

Passo 2

b )

Já possuímos as equações do vetor velocidade e aceleração, mas ambos estão em função do tempo. Então para utilizá-los precisamos do instante de tempo do ponto A e do ponto B . Para descobrir o tempo, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da posição.

r A → t = 2 . i ^ + 4 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

2 = 1 4 . t 3

t = 2   s

Ou

4 = t 2

t = 2   s

Logo, o ponto A corresponde ao instante 2   s .

Fazemos o mesmo para o ponto B .

r B → = 16 . i ^ + 16 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

16 = 1 4 . t 3

t = 4   s

Ou

16 = t 2

t = 4   s

Logo o ponto B corresponde ao instante 4   s .

Agora substituindo, temos que a velocidade instantânea no ponto A é:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 2 = 3 4 . 2 2 . i ^ + 2   .   2 . j ^

v → 2 = 3 . i ^ + 4 . j ^

E agora o vetor aceleração instantânea no ponto B

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 3 2 . 4 . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 6 . i ^ + 2 . j ^

Passo 3

c )

Bem, nós calcularemos a velocidade média com a fórmula:

v m = r f - r i t f - t i

E a aceleração média com a fórmula:

a m = v f - v i t f - t i

Observando ambas as fórmulas vemos que ainda nos falta calcular v f , r i e r f que são respectivamente, v 4 , r 2 e r ( 4 ) . Então, mãos a obra:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 4 = 3 4 . 4 2 . i ^ + 2   .   4 . j ^

v → 4 = 12 . i ^ + 8 . j ^

r → t = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

r → 2 = 1 4   .   2 3 . i ^ + 2 2 . j ^

r → 2 = 2 . i ^ + 4 . j ^

r → 4 = 1 4 . 4 3 . i ^ + 4 2 . j ^

r → 4 = 16 . i ^ + 16 . j ^

Show! Agora já temos tudo para calcular as médias.

Velocidade média.

v m → = r → 4 - r → 2 4 - 2

v m → = 16 . i ^ + 16 . j ^ - 2 . i ^ + 4 . j ^ 2

v m → = 7 . i ^ + 6 . j ^

Aceleração média.

a m → = v → 4 - v → 2 4 - 2

a m → = 12 . i ^ + 8 . j ^ - 3 . i ^ + 4 . j ^ 2

a m → = 9 2 i ^ + 2 j ^

Resposta

a )   v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

b )   v → A = 3 . i ^ + 4 . j ^

a → B = 6 . i ^ + 2 . j ^

c )   v m → = 7 . i ^ + 6 . j ^

a m → = 9 2 i ^ + 2 j ^

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