Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

Ver Teoria

Enunciado

Um elétron de massa m e velocidade horizontal v 0 incide em uma região entre duas placas paralelas eletricamente carregadas, conforme mostra a figura abaixo. Ao percorrer essa região o elétron é submetido a uma forca vertical F , constante, para cima (sabe-se que F = m . a ). Sabendo-se que o comprimento das placas é igual a l e desprezando o efeito da aceleração da gravidade, determine:

a   O vetor posição do elétron r → ( t ) em função do tempo, quando este se encontra entre as placas paralelas eletricamente carregadas. Considere que a origem do sistema de coordenadas é do lado esquerdo das placas e que o elétron passa pela origem do sistema de coordenadas no instante t = 0   s , conforme mostra a figura. Expresse o resultado em termos de m , v 0 , F , e t .

b O valor de Y , quando o elétron atinge um anteparo situado a uma distancia L das placas paralelas. Expresse o resultado em termos de m , v 0 , F , l , L .

Passo 1

a )   Vamos calcular sua equação para o eixo x primeiramente:

Não temos nenhuma força atuando no eixo x , logo a aceleração e nula. Dai tiramos que o movimento no eixo x corresponde a um MRU que obedece a fórmula:

x t = x 0 + v 0 t

Temos também que o movimento se inicia na origem das placas, logo x 0 = 0 .

x t = v 0 t

Vamos agora calcular a equação para o eixo y :

Para o eixo y , temos uma força F constante, logo a aceleração também é constante. Dai tiramos que o movimento no eixo y corresponde a um MUV que obedece a fórmula:

y t = y 0 + v 0 y t + a t 2 2

Entretanto, temos que y 0 = 0 e que v 0 y = 0 , ficando apenas com:

y t = a t 2 2

Utilizando o dado do enunciado que :

F = m . a

a = F m

Substituindo:

y t = 1 2 F m t 2

Logo, teremos para o vetor posição:

r → t = x t i ^ + y t j ^

r → t = v 0 t i ^ + 1 2 F m t 2 j ^

Passo 2

b   Primeiramente precisamos saber quando que a força F vai parar de atuar, que é no final da distância l das placas que pode ser calculada com a expressão do item anterior.

x t = v 0 t

l = v 0 t

t = l v 0

Logo, neste instante a equação da posição r → t muda, por que agora o eixo y não terá mais a força F atuando e portanto também não terá mais aceleração, passando a ser um movimento MRU dado por:

y t = y 0 + v 0 y t

Onde y 0 é a posição y t quando t = l v 0 e v 0 y é a componente y da velocidade neste mesmo instante t . Vamos calcular isso.

O vetor velocidade pode ser calculado por:

v y t = a . t

v y t = F m . t

Logo:

v 0 y = v y l v 0

v l v 0 = F m . l v 0

v 0 y = F m . l v 0

Logo:

y t = y 0 + v 0 y t

y t = y 0 + F m . l v 0 t

Muito bem, agora para achar y 0 :

y t = 1 2 F m t 2

y l v 0 = 1 2 F m l v 0 2

y l v o = 1 2 F . l 2 m . v 0 2

Temos então que:

y t = y 0 + F m . l v 0 t

y l v 0 = y 0 + F m . l v 0 . l v 0

Substituindo o valor de y l v 0 :

1 2 F . l 2 m . v 0 2 = y 0 + F . l 2 m . v 0 2

y 0 = - 1 2 F . l 2 m . v 0 2

Portanto nosso novo y t é:

y t = F m . l v 0 t - 1 2 F . l 2 m . v 0 2

O projétil irá atingir o anteparo no instante:

x t = l + L

l + L = v 0 t

t = l + L v 0

Portanto:

Y = y l + L v 0 = F m . l v 0 l + L v 0 - 1 2 F . l 2 m . v 0 2

Y = F . l m . v 0 2 L + l 2

Resposta

a   r → t = v 0 t i ^ + 1 2 F m t 2 j ^

b   Y = F . l m . v 0 2 L + l 2

Exercícios de Livros Relacionados

Faça gráficos das coordenadas x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) do
Calcule o produto tensorial a b entre os vetores a = 2 i + j
Calcule as componentes do vetor a da figura 3.5 no sistema d
Um corpo move-se segundo a fórmula r = 20 m / s i ⋅ t - 4.9