Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

Ver Teoria

Enunciado

Num laboratório, são lançados simultaneamente dois projéteis de dimensões desprezíveis.

No instante t = 0 de lançamento, os projéteis ocupam as posições r → 1 0 = h 1 j ^ e r → 2 0 = x 0 i ^ + h 2 j ^ , com x 0 > 0 e 0 < h 2 < h 1 , de onde partem com velocidades v → 1 0 = v 0 i ^ e v → 2 0 = - v 0 i ^ respectivamente. O sistema de eixos foi escolhido tal que g   → =   - g j ^ .

(a) Os projéteis colidem em pleno voo? Se sim, em qual instante?

(b) Supondo que h 1 seja a altura inicial do primeiro projétil a partir do solo, quanto tempo ele leva para atingi-lo?

Passo 1

Encontraremos as funções de posição para cada um dos projéteis:

Para o projétil 1

Eixo x:

No eixo x, o projétil descreve um movimento uniforme, pois não existe aceleração neste eixo, logo, a função de posição será de forma:

s = s 0 + v t

Assim, para o projétil 1:

r → 1 t x = v 0 t i ^

No eixo y, o projétil descreve um movimento uniformente acelerado, pois existe a aceleração da gravidade neste eixo, logo, a função de posição será de forma:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Assim, para o projétil 1:

r → 1 t y = ( h 1 - g t 2 2 ) j ^

Logo, a função de posição será:

r → 1 t =   v 0 t i ^ +   ( h 1 - g t 2 2 ) j ^    

Passo 2

Para o projétil 2

Eixo x:

No eixo x, o projétil descreve um movimento uniforme, pois não existe aceleração neste eixo, logo, a função de posição será de forma:

s = s 0 + v t

Assim, para o projétil 2:

r → 2 t x = ( x 0 - v 0 t ) i ^

No eixo y, o projétil descreve um movimento uniformente acelerado, pois existe a aceleração da gravidade neste eixo, logo, a função de posição será de forma:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Assim, para o projétil 2:

r → 2 t y = ( h 2 - g t 2 2 ) j ^

Logo, a função de posição será:

r → 2 t =   ( x 0 - v 0 t ) i ^ +   ( h 2 - g t 2 2 ) j ^    

Passo 3

a) Calcularemos o instante da colisão (caso exista):

Para que haja a colisão, os projéteis devem ocupar a mesma posição nos eixos x e y no mesmo instante de tempo. Supondo que este instante seja t 1 , calcularemos para cada um dos eixos.

Eixo x:

r → 1 t 1 x = r → 2 t 1 x

v 0 t 1 =   ( x 0 - v 0 t 1 )   ⇒   t 1 = x 0 2 v 0

Neste instante, as coordenadas no eixo y serão:

r → 1 t 1 y = h 1 - g 2 x 0 2 v 0 2 j ^   e   r → 2 t 1 y = h 2 - g 2 x 0 2 v 0 2 j ^

Para que haja a colisão:

r → 1 t 1 y = r → 2 t 1 y

h 1 - g 2 x 0 2 v 0 2 =   h 2 - g 2 x 0 2 v 0 2   ⇒ h 1 = h 2  

Como o enunciado afirma que h 2 < h 1 , os projéteis não colidem.

Passo 4

b) Calcularemos o tempo de queda ( t q ) do primeiro projétil:

Neste instante, r → 1 t q y = 0 , logo

h 1 - g t q 2 2 = 0   ⇒ t q =   2 h 1 g  

Resposta

  1. Os projéteis não colidem

t q =   2 h 1 g

Exercícios de Livros Relacionados

Faça gráficos das coordenadas x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) do corpo cuj
Calcule o produto tensorial a b entre os vetores a = 2 i + j + 3 k e b
Calcule as componentes do vetor a da figura 3.5 no sistema de coordena
Um corpo move-se segundo a fórmula r = 20 m / s i ⋅ t - 4.9 m / s 2 t