Exercícios Resolvidos de Gases Ideais

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Enunciado

Considere uma interação entre um gás ideal e um reservatório térmico de temperatura T . O volume do gás ideal muda de 2 V 0 para V 0 num processo quase estático isotérmico. Nesse caso, qual a variação da entropia no reservatório? Não considere o trabalho feito pelo reservatório. O número de moléculas do gás ideal é N .

1. 2 k B N ln ⁡ 2

2. k B N ln ⁡ 2

3. - 2 k B N ln ⁡ 2

4. - k B N ln ⁡ 2

5. 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um gás ideal em um reservatório térmico, onde tá ocorrendo um processo de compressão, porque o volume do gás muda de 2 V 0 para V 0 , isotérmico (sem mudança de temperatura). E aí ele quer saber qual foi a variação de entropia nesse processo.

Lembra sempre que a variação de entropia tem a ver com o processo ser reversível ou irreversível e ela vai ser sempre positiva ou igual a zero. Em processos reversíveis, ela vai ser igual a zero, e em processos irreversíveis, ela vai ser maior que zero.

Na compressão isotérmica de um gás ideal, a variação de entropia será dada pela equação:

Δ S g a s = - k B N ln ⁡ 2

Onde k B é constante de Boltzmann, N é o número de moléculas do gás ideal e 2 é o número de microestados do gás, que é relativo as formas que as moléculas podem se organizar.

Mas, de maneira gera, a entropia é definida pela equação:

Δ S g a s = ∫ d Q T

Onde d Q é a integrante do calor e T é a temperatura, que no nosso caso é constante (porque o processo é isotérmico). Então, o que nós vamos fazer é comparar essas duas equações, levando em consideração as variáveis do nosso processo de compressão isotérmica.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a equação geral da entropia para um gás ideal:

Δ S g a s = ∫ d Q T

Como T é constante, podemos tirar esse termo da integral:

Δ S g a s = 1 T ∫ d Q

Integrando em relação a Q , temos:

Δ S g a s = 1 T Q g a s

Mas, a gente viu no passo 1 , que na compressão isotérmica de um gás ideal, a variação de entropia será dada pela equação:

Δ S g a s = - k B N ln ⁡ 2

Então, podemos igualar as equações:

- k B N ln ⁡ 2 = 1 T Q g a s

Isolando Q g a s :

Q g a s = - T k B N ln ⁡ 2

Mas Q g a s é o calor cedido pelo reservatório, nesse caso. Então, o calor resultante no processo vai ser dado por Q r e s = - Q g a s . Assim, temos a entropia resultante:

Δ S r e s = Q r e s T = - Q g a s T

E como encontramos Q g a s = - T k B N ln ⁡ 2 , substituindo na equação da entropia resultante:

Δ S g a s = - - T k B N ln ⁡ 2 T

Simplificando, temos:

Δ S g a s = k B N ln ⁡ 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Δ S g a s = k B N ln ⁡ 2

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