Exercícios Resolvidos de Gases Ideais

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Enunciado

Um tubo em U contém inicialmente uma certa quantidade de um fluido de densidade ρ e tem dois ramos abertos para a atmosfera (pressão P 0 ). Veda-se um dos ramos e acrescenta-se mais fluido no outro que continua aberto. Após a estabilização o desnível do fluido entre os dois lados vale h . Suponha que não existe transferência de calor entre o fluido e o ar, que a parede do tubo é adiabática e que a compressão do ar é quase estática. Determine a razão entre o volume final e o inicial do ar armazenado do lado que foi vedado. Considere que o ar é um gás ideal e o calor específico molar a volume constante do ar como C V = 5 R / 2 .

1. V f / V i = P 0 P 0 + ρ g h 5 / 7

2. V f / V i = P 0 + ρ g h P 0 5 / 7

3. V f / V i = P 0 P 0 + ρ g h 7 / 5

4. V f / V i = P 0 P 0 - ρ g h 7 / 5

5. V f / V i = P 0 P 0 + ρ g h

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a razão entre o volume final e o volume inicial do ar armazenado em um tubo em U , que foi vedado apenas em um dos lados. Como não existe transferência de calor entre o fluido e o ar que estão no tubo, nosso processo é adiabático.

Dessa forma, em um dos lados do tubo, nós temos um fluido sujeito a pressão atmosférica e a pressão manométrica, que é definida como ρ g h (onde ρ é a densidade do fluido, g é constante gravitacional e h a altura do desnível entre os lados do tubo). Ou seja:

P = P 0 + ρ h g

Mas lembra do princípio de Pascal? Ele nos diz que a pressão aplicada em um ponto de um fluido em repouso, se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. Então, a gente pode considerar a equação para os dois lados do tubo.

Além disso, como nosso processo é adiabático, por definição, ele pode ser descrito pela equação:

P i V i γ = P f V f γ

Onde P i e P f são as pressões inicial e final, V i e V f os volumes inicial e final, e γ = c P c v é a relação entre os calores específicos molar a pressão constante ( c p ) e a volume constante ( c V ). Então, nós vamos usar essa equação para encontrar a relação entre os volumes, considerando a pressão em cada ponto do fluido.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar manipulando nossa equação para processos adiabáticos:

P i V i γ = P f V f γ

Isolando V f γ , temos:

V f γ = V i γ ∙ P i P f

Elevando cada termo da equação a 1 γ , temos:

V f γ 1 γ = V i γ 1 γ P i P f ( 1 / γ )

V f = V i P i P f ( 1 / γ )

Dividindo os dois lados por V i , temos a relação entre os volumes:

V f V i = P i P f ( 1 / γ )

Passo 3

Agora nós podemos chamar a pressão inicial P i de P 0 , que é a pressão atmosférica. E a pressão final, como definimos no passo 1 , vai ser dada por P = P 0 + ρ g h . Assim, vamos obter:

V f V i = P 0 P 0 + ρ g h ( 1 / γ )

Mas lembra que γ = C P C v ? E C P = C V + R , onde R é a constante universal dos gases. O enunciado nos deu C V = 5 R 2 , então temos:

γ = C V + R C V = 5 R 2 + R 5 R 2

Logo,

γ = 7 R 2 ∙ 2 5 R = 7 5

Substituindo esse valor na equação da relação entre os volumes, temos:

V f V i = P 0 P 0 + ρ g h 1 7 / 5  

V f V i = P 0 P 0 + ρ g h ( 5 / 7 )

Que é a nossa alternativa 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V f V i = P 0 P 0 + ρ g h ( 5 / 7 )

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