Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Uma corda é acionada por um gerador de ondas que estica a corda em uma direção perpendicular à corda, conforme apresentado na figura. A função de onda y x , t para a onda estacionária em uma corda, fixa em ambas as extremidades, é dada por y x , t = 4,20 sen ⁡ 0,200   x cos ⁡ 300   t , onde y e x estão em centímetros e t está em segundos. Determine:

  1. O número de onda e o comprimento de onda das ondas da onda estacionária
  2. A frequência e a velocidade das ondas na corda
  3. O comprimento L da corda, sabendo que a corda vibra em seu quarto harmônico
  4. Represente a onda estacionária, indicando a posição de cada nó. Considere a onda no instante t = 0 e os extremos da corda em x = 0 e x = L

Passo 1

Oii galera, tudo certo? Bora lá? Essa questão aqui vai ser feitas aos poucos, letra por letra. Afinal, cada uma delas pede uma coisinha. A primeira coisa que podemos fazer, pra tudo ficar bem claro, é analisar a função dada:

y x , t = 4,20 sen ⁡ 0,200   x cos ⁡ 300   t

Galera, unindo a matemática com a física, em uma função oscilatória qualquer (de seno ou cosseno), por exemplo:

y = A cos ⁡ B x + C

Vamos ter os seguintes comportamento pro gráfico quando alteramos as constantes A , B , C

Sendo assim, vamos ter que:

  • A Amplitude de oscilação
  • B Seja λ = 2 π B o comprimento de onda, temos que B = 2 π λ , a exata definição de número de onda! Logo B = K .
  • C Atraso de fase, se positivo. Adianto de fase, se negativo

Definido isso, já temos o suficiente pra responder a letra a . Usando o y x , t do enunciado, vemos que:

B = K = 0,2 = 2 π λ → λ = 2 π 0,2

Sendo assim, com as devidas unidades de medida do enunciado, temos que:

K = 0,2   r a d c m λ = 10 π   c m

Passo 2

Pra responder a letra b , vamos precisar olhar de novo pro nosso y x , t :

y x , t = 4,20 sen ⁡ 0,200   x cos ⁡ 300   t

Se antes a gente olhou pra parte que envolvia a posição, vamos agora olhar pro pedaço que envolve o tempo! De forma análoga, seja:

y t = cos ⁡ B t

Vamos ter, com B variando:

E logo:

T = 2 π B

B = 2 π T

E gente, essa é a definição de frequência angular! Logo, como:

B = ω = 2 π f = 300

Temos o suficiente pra responder a letra b :

2 π f = 300

f = 150 π   H z

E a velocidade vai ser então:

v = λ f

v = 10 π   c m 150 π   H z

v = 1500   c m / s

Passo 3

Continuando então, vamos usar uma informação importante do enunciado: corda vibrando no quarto harmônico. Galera, quando isso acontece, a corda acaba assumindo o seguinte comprimento de onda:

λ = 2 L 4

O mesmo que:

λ = L 2

Se a gente usar a fórmula:

v = λ f

Achamos a seguinte expressão pra frequência de oscilação

f = v λ = v L 2 = 2 v L

Ou seja, o comprimento que queremos saber será:

L = 2 v f

Substituindo:

L = 2   1500   c m / s 150 π   H z

L = 20 π   c m

Passo 4

Pra gente fechar tudo tudinho, falta só a letra d . Ela quer que a gente represente a onda estacionária:

y x , t = 4,20 sen ⁡ 0,200   x cos ⁡ 300   t

Oras, isso nada mais é do que um esboço do gráfico! Para t = 0 , como o enunciado pediu, temos:

y x , 0 = 4,20 sen ⁡ 0,200   x cos ⁡ 300 ∙ 0

Como cosseno de 0 1 , o gráfico se reduz para:

y x = 4,20 sen ⁡ 0,200   x ;   0 < x < L  

Note ainda que, como L = 20 π   c m , nas extremidades do domínio dessa função teremos:

y 0 = 4,20 sen ⁡ 0 = 0

y L = 4,20 sen ⁡ 8 π = 0

Sendo assim, basta a gente esboçar uma função seno de 4,20 de amplitude, que comece e termine em y = 0 em seu domínio e que, como:

λ = 10 π   c m

L = 20 π   c m

Caiba duas oscilações completas:

Ah e não esqueça de marcar os nós, ou seja, todos os pontos em que y = 0 , como fizemos acima! Cabou!

Resposta

  1. K = 0,2   r a d c m λ = 10 π   c m
  2. f = 150 π   H z v = 1500   c m / s
  3. L = 20 π   c m

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