Enunciado

Um oscilador harmônico simples tem amplitude x m , atinge velocidade máxima de v m e

possui aceleração máxima a m . Num dado instante de tempo, qual das opções abaixo pode

representar sua posição, sua velocidade e sua aceleração, respectivamente?

(a) x m / 2 , - 3 v m / 2 , - a m / 2 .

(b) x m / 2 , - v m / 2 , - a m / 2 .

(c)   x m / 2 ,     3 v m / 2 ,   - a m / 2 .

(d) - x m , 0 , - a m .

(e) - x m , v m , - a m .

(f) 0 , 0 , 0 .

(g) 0 , v m   , a m .

(h) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

No MHS, a posição pode ser descrita por

x t = x m   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Já a velocidade é a derivada da posição

v t = d d t x t = - ω x m   s e n ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde a velocidade máxima é v m = ω x m .

E a aceleração:

a t = d d t v t = - ω 2 x m   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde a m = ω 2 x m

Passo 2

Olhando as alternativas, para x t = x m / 2

x m 2 = x m   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

cos ⁡ ω t + ϕ = 1 2

Dada essa condição, então a aceleração teria que ser

a t = - a m cos ⁡ ω t + ϕ = - a m 2

Temos que ω t + ϕ = ± π / 3 , então s e n ω t + ϕ = ± 3 / 2 , então a velocidade

v t = - v m s e n ω t + ϕ = ∓ 3 2 v m

O que faz com que as alternativas (a) e (c) estejam corretas e (b) incorreta!

Passo 3

Testando as outras alternativas, por desencargo de consciência. Se x t = - x m , então

cos ⁡ ω t + ϕ = - 1

a t = - a m cos ⁡ ω t + ϕ = a m

O que já exclui a alternativa (d).

E temos que s e n ω t + ϕ = 0

v t = - v m s e n ω t + ϕ = 0

O que exclui (e).

Passo 4

Último teste: x t = 0 , então cos ⁡ ω t + ϕ = 0

a t = 0

O que exclui (g).

E temos que s e n ω t + ϕ = ± 1

v t = ∓ v m

O que também exclui (f).

Resposta

(a) x m / 2 , - 3 v m / 2 , - a m / 2 .

(c)   x m / 2 ,     3 v m / 2 ,   - a m / 2 .

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