Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Uma criança coloca um pouco de areia dentro de uma garrafa de refrigerante vazia e a põe para boiar em um tanque com água. Podemos supor que a garrafa tem seção reta uniforme de área A , sendo A muito menor que a área do tanque, de forma que o movimento da água do tanque possa ser desprezado. A massa total da garrafa, incluindo a areia, vale m . A densidade da água é ρ . No equilíbrio, a parte submersa da garrafa tem comprimento l o . A criança força a garrafa para baixo uma pequena distância h além da posição de equilíbrio, e a solta. Considerando que a garrafa tenha apenas movimento vertical, a frequência angular ω o de suas oscilações em torno do equilíbrio vale:

  1. ω o = ρ A m
  2. ω o = ρ A m g
  3. ω o = l o ρ A m
  4. ω o = ρ g A m
  5. ω o = ρ A m

Passo 1

No equilíbrio de forças:

E → = P →

Sabemos que o peso aponta pra baixo e o empuxo pra cima, então vou escrever na forma escalar mesmo, beleza?

E = P

V s u b m e r s o ρ g = m g

Mas:

V s u b m e r s o = A l o

Sendo h o a altura do equilíbrio. Então:

A l o ρ g = m g

l o = m A ρ

Passo 2

Show. Agora, quando a criança desloca a garrafa pra baixo, a força resultante vai ser:

F R = P - E

F R = m g - A ( h + l o ) ρ g

E aqui eu usei ( h + l o ) porque a profundidade total quando a criança empurra a garrafa é ( h + l o ) e não apenas h .

Agora vamos substituir:

A l o ρ g = m g

F R = m g - A ( h + l o ) ρ g

F R = A l o ρ g - A ( h + l o ) ρ g

F R = - A h ρ g

Repara que esse h é a diferença da posição de equilíbrio, então eu posso chamar ele de x .

F R = - A ρ g x

Além disso:

F R = m x ¨

Substituindo:

F R = m x ¨ = - A ρ g x

m x ¨ + A ρ g x = 0

Dividindo por m :

x ¨ + A ρ g m x = 0

Passo 3

Comparando com a equação do MHS:

x ¨ + ω o 2 x = 0

Podemos dizer que:

ω o 2 = A ρ g m

ω o = A ρ g m

Resposta

Letra D

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