Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

A função x = ( 6,0   m )   c o s [ ( 3 π   r a d / s ) t + π / 3 ] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t = 2,0   s , determine a ) o deslocamento, b ) a velocidade, c ) a aceleração e d ) a fase do movimento. e ) Qual é a frequência e f ) qual o período do movimento?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos uma oscilação cuja evolução da posição da partícula é dada por

x = ( 6,0   m )   c o s [ ( 3 π   r a d / s ) t + π / 3 ]

ou seja, é um MHS. Podemos comparar essa solução com a solução do MHS geral e obter os valores pedidos nas alternativas, sendo eles

a ) o deslocamento, b ) a velocidade, c ) a aceleração e d ) a fase do movimento. e ) Qual é a frequência e f ) qual o período do movimento?

em particular faremos isso para t = 2,0   s . Bora lá!

Passo 2

Comparando com a solução do MHS, temos que

x ( t ) = A   c o s ( ω t + ϕ )

A é a amplitude do movimento, ω é a velocidade angular e ϕ é a fase. Podemos identificar que

ω = 3 π   r a d / s e ϕ = π / 3

assim como temos que

A = 6,0   m

quando t = 2   s , temos que

x ( 2 ) = 6   c o s [ ( 6 π + π / 3 ] = 3   m

que é o deslocamento do sistema! Ou seja, alternativa a ) Vamos derivar a expressão e obter a velocidade!

Passo 3

Derivando a expressão uma vez temos que

v ( t ) = - A ω   s i n ( ω t + ϕ ) = - 18   π   s i n ( 3 π t + π / 3 )

derivando novamente, obtemos a aceleração

a ( t ) = - 54 π 2   c o s ( 3 π t + π / 3 )

em t = 2   s obtemos que

v ( t ) = - 18   π   s i n ( 6 π + π / 3 ) = - 49,0   m / s

e, a aceleração é dada por

a ( t ) = - 54 π 2   c o s ( 6 π + π / 3 ) = - 2.7 × 1 0 2   m / s 2

Alternativas b ) e c ) já eram! A constante de fase é obtida diretamente comparando as nossas duas soluções de forma que

ϕ = π / 3

que é a resposta da alternativa d ) . Vamos obter as outras grandezas que faltam!

Passo 4

Queremos a frequência f de oscilação, ela pode ser obtida através da relação

ω = 2 π f

em que ω é a frequência angular dada por

ω = 3 π

sendo assim, temos que

f = 3 π 2 π = 1,5   H z

Por último, o período é definido como

T = 1 f

portanto, temos que

T = 0,67   s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   x = 3   m , b )   v = - 49,0   m / s , c )   a = - 2.7 × 1 0 2   m / s 2 , d )   ϕ = π / 3 , e ) 1,5   H z   e f )   T = 0,67   s  

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