Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de 0,500   k g ligado a uma mola. Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 35,0   c m , o oscilador repete o movimento a cada 0,500   s . Determine a ) o período, b ) a frequência, c ) a frequência angular, d ) a constante elástica, e ) a velocidade máxima e f ) o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos um oscilador formado por uma mola ligada a uma massa com

m = 0,500   k g

inicialmente é deslocado de forma que a amplitude da oscilação é

A = 35,0   c m

com o movimento se repetindo a cada 0,500   s . Com estes dados precisamos determinar as seguintes grandezas

Determine a ) o período, b ) a frequência, c ) a frequência angular, d ) a constante elástica, e ) a velocidade máxima e f ) o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

Muitos destas grandezas podem ser identificadas diretamente a partir de suas definições, mas em particular, será de interesse lembrarmos o formato da solução para o MHS sendo essa

x ( t ) = A   c o s ( ω t + ϕ )

em que estou desconsiderando a existência de atrito já que não há nenhum indicativo de que devamos considerá-lo, usando a amplitude dada, e escolhendo um fase arbitrária ϕ = 0 , temos vamos usar a solução no formato

x ( t ) = 35,0   c o s ( ω t )

Vamos começar a calcular todas estas alternativas! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro queremos calcular o período, por definição temos que o período é o tempo de uma oscilação completa partindo de um ponto x e retornando ao mesmo ponto após um tempo T , com o o movimento se repete a cada t = 0,500   s , temos que

T = 0,500   s

usando a definição de frequência como

f = 1 / T

temos simplesmente

f = 1 / 0,500 = 2,000   H z

e, da mesma forma, podemos usar a definição de frequência angular para calcular que

ω = 2 π f = 12,6   r a d   s - 1

Maravilha! Obtivemos as três primeiras alternativas! Para obter a constante elástica vamos ter que lembrar alguns outros detalhes da construção do problema do MHS! Vamos lá!

Passo 3

A solução apresentada é solução da equação diferencial

x ¨ ( t ) + k m x ( t ) = 0

em que definimos

ω 2 = k m

usando a massa dada no enunciado m = 0,500   k g e a frequência calculada no passo anterior, temos que

k = 78,9   N   m - 1

Vamos guardar esta informação! Para obter a velocidade máxima vamos usar a solução dada no passo 1 !

Passo 4

Temos que a posição em função do tempo é dada por

x ( t ) = 35,0   c o s ( ω t )

derivando esta expressão temos que a velocidade é obtida como

v ( t ) = - 35,0   ω   s e n ( ω t )

A velocidade máxima é obtida quando

s e n ( ω t ) = 1

sendo assim, temos que

v m a x ( t ) = - 35,0   ω = - 441   c m   s - 1

ou simplesmente

| v m a x ( t ) | = 4,41   m   s - 1

Por último, vamos obter a força máxima do sistema!

Passo 5

A força máxima é obtida diretamente da solução sem necessidade de derivar pois a única força atuando neste sistema é a força elástica dada por

F ( t ) = - k   x ( t )

usando a expressão a solução do MHS, temos que

F ( t ) = - k   35,0   c o s ( ω t )

A força máxima é obtida quando

c o s ( ω t ) = 1

e, portanto, temos que

F m a x = - k   35,0

usando o valor que obtivemos nos passos anteriores para a constante da mola, temos que

F m a x = - 78,9   × 35   × 1 0 - 2 = - 27,6   N

ou em módulo

| F m a x | = 27,6   N

A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   T = 0,500   s , b )   f = 2,000   H z , c )   ω = 12,6   r a d   s - 1 , d )   k = 78,9   N   m - 1 , e ) | v m a x ( t ) | = 4,41   m   s - 1   e f ) | F m a x | = 27,6   N  

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