Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Sobre a superfície muito lisa de uma mesa se encontra uma mola, cuja a constante é de 16   N / m . Uma das extremidades da mola está fixada na mesa e na outra está presa um bloco de 2   k g que também repousa sobre a mesa. Um outro bloco (também de 2   k g ) desloca sobre a superfície com velocidade de 8   m / s e colide com o bloco preso à mola. Após a colisão, os dois blocos permanecem grudados um no outro e o sistema começa a oscilar. Considerando t = 0 e x = 0 no instante da colisão, encontre a equação do movimento harmônico resultante.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O sistema descreve um bloquinho ( m 1 = m = 2   k g ) sobre uma mesa lisa (sem atrito) preso à uma mola com constante elástica dada por

k = 16   N / m

este bloco está paradinho inicialmente até que um segundo bloquinho de mesma massa ( m 2 = m = 2   k g ) , que se move com velocidade constante v = 8   m / s , colide e fica grudado no primeiro bloquinho, de forma que agora o sistema é um oscilador harmônico de massa ( M = m 1 + m 2 = 2 m ) e velocidade inicial obtida através da conservação do momentum linear do sistema! Vamos ter que obter essa velocidade! O sistema obedece às seguintes condições iniciais

t = 0 e x = 0

ou seja, a oscilação se inicia na origem do sistema de coordenadas! Isso irá nos ajudar a escolher qual solução para a equação diferencial, obtida através da segunda lei de Newton

F → R = M a →

devemos escolher! Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a nossa velocidade inicial através da conservação do momentum linear, uma vez que iremos precisar desta condição inicial ao resolver a nossa equação diferencial! Inicialmente o momentum linear é dado simplesmente pelo bloquinho em movimento, portanto

p → i = - m v 1   i ^

após a colisão, os corpos se movem junto de forma que

p → f = ( m 1 + m 2 ) v f → = M   v → f

Pela conservação do momentum, e como o sistema é unidimensional, temos que

- m v 1 i ^ = M v → f

de forma que

v → f = - m M v 1 i ^

ou seja, como M = 2 m , temos que a velocidade inicial da oscilação tem como módulo

| v → f | = v 0 = 4   m / s

Vamos montar agora o problema usando a segunda lei de Newton!

Passo 3

As forças atuando sobre o sistema em oscilação são simplesmente

F R → = - k x   i ^

de forma que escalarmente, temos a seguinte equação diferencial

d 2 x d t 2 + k M x = 0

em que usei a → = d 2 x d t 2 i ^ . Fazendo a definição

ω 0 2 = k / M

temos que o sistema oscila com frequência natural dada por

ω 0 = 2   r a d   s - 1

ou seja, em resumo a nossa equação diferencial é

d 2 x d t 2 + 4   x = 0

Vamos resolver essa equação diferencial!

Passo 4

Essa equação diferencial é homogênea de segunda ordem com raízes do polinômio característico complexas, sendo assim, as soluções são dadas por

x ( t ) = A   c o s ( 2   t ) + B s e n ( 2 t )

uma combinação linear de senos e cossenos! Usando a condição inicial

x = 0 quando t = 0

temos que

0 = A   c o s ( 0 ) + B   s e n ( 0 ) = A

Portanto, nossa solução é da forma

x ( t ) = B   s e n ( 2 t )

Para encontrar B precisamos aplicar a condição inicial sobre a derivada! Vamos fazer isso!

Passo 5

A derivada de nossa solução é dada por

d x d t = - 2 A   c o s ( 2 t ) + 2 B   c o s ( 2 t )

usando que A = 0 , e que

d x d t = v

temos que em t = 0 , obtemos

v 0 = 2 B   c o s ( 0 ) = 2 B

como vimos no passo 1 , temos que v 0 = 4   m   s - 1 portanto, temos que

B = 2

E a nossa solução é dada por

x ( t ) = 2   s e n ( 2 t )

Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x ( t ) = 2   s e n ( 2 t )

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