Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Uma corda de comprimento L e densidade μ = 0,25   k g / m , com ambas as extremidades fixas, oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária de acordo com a seguinte equação:

y = 0,20 sin ⁡ ( π x ) sin ⁡ ( 24 π t ) ,

onde x = 0 numa das extremidades da corda ( x é dado em metros e t em segundos).

Qual o comprimento da corda?

(a) L = 4   m

(b) L = 2   m

(c) L = 6   m

(d) L = 1   m

(e) L = 8   m

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma corda de comprimento L que oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária. Mas o que isso quer dizer?

Isso descreve omodo de vibração dessa onda estacionária, onde n = 4 , repara só:

Cada modo de vibração tem equações diferentes para o cálculo do comprimento da corda L , em função do comprimento de onda λ . No nosso caso,

L = 4 λ 2 → L = 2 λ

Da forma geral dos modos de vibração, temos a equação de onda:

y = A n sin ⁡ ( k n x ) cos ⁡ ( ω n t + δ n )

Comparando a equação da nossa onda:

y = 0,20 sin ⁡ ( π x ) sin ⁡ ( 24 π t )

temos k = π e ω = 24 π , certo? Mas pra calcular o valor de L , nós precisamos do valor de λ . E nós podemos obter o valor de λ através de k , é usar a equação:

k = 2 π λ → λ = 2 π k

Descobrindo esse valor, vamos obter o comprimento da corda através da equação L = 2 λ .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando λ por meio da fórmula:

λ = 2 π k

Da equação de onda que a questão nos deu, extraímos k = π . Substituindo, temos:

λ = 2 π π = 2   s - 1

Agora basta aplicar esse resultado na equação do comprimento:

L = 2 λ

L = 2 ∙ 2 = 4   m

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 4   m

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