Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

A função: x = 6,0 m . c o s ⁡ ( 3 π r a d / s . t + π 3 r a d ) descreve o movimento harmônico simples de um corpo. Em t = 2,00 s , quais são:

  1. O deslocamento.
  2. A velocidade.
  3. A aceleração.
  4. A fase do movimento.
  5. A frequência.
  6. O período.

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado uma função posição para um MHS.

Em alguns itens, iremos usar a fórmula dada para encontrar o deslocamento, a velocidade e a aceleração.

Nos demais itens, iremos comparar a função dada com a fórmula geral e encontrar o que se pede.

A fórmula geral da posição num MHS é:

x t = A c o s ω t + ϕ

Aonde,

A é a amplitude do movimento.

ω é a frequência angular.

ϕ é a constante de fase.

Passo 2

a)

Para encontrarmos o deslocamento no tempo t = 2,00 s , precisamos saber qual a posição no tempo t = 2,00 s e para isso, só precisamos usar a função dada e aplicar o valor t = 2,00 s :

x 2,00 = 6 . cos ⁡ 6 π + π 3 = 6 . 1 2 = 3,00 m

Por que cos ⁡ 6 π + π 3 = 0,5 ?

Porque :

cos ⁡ 6 π + π 3 = cos ⁡ π 3 = cos ⁡   60 °

Isso é uma propriedade trigonométrica:

Toda vez que somamos a um ângulo um número inteiro de voltas(um múltiplo de 2 π , como 6 π ) , os senos e cossenos desse ângulo vão ser os mesmos que o do ângulo inicial.

Beleza, mas nós calculamos a posição, certo? Queremos o deslocamento, logo, precisamos descontar desse valor a posição inicial.

E qual é a posição inicial? A posição para t = 0 :

x 0 = 6 cos ⁡ π 3 = 3,00 m

Opa, então o deslocamento será:

d → = 3,00 - 3,00 = 0

Perceba que esse deslocamento é um vetor( no caso calculamos o módulo dele) e por isso é nulo.

Ou seja: O móvel voltou para a posição inicial, mas a informação acima não quer dizer que o móvel não percorreu distâncias.

Passo 3

b)

Primeiro, precisamos derivar a fórmula:

x ( t ) = 6 c o s 3 π t + π 3

Derivando:

v t = d x t d t = - 18 π s e n 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 :

v 2 = - 18 π s e n 6 π + π 3 = - 48,97   m / s

Passo 4

c)

Novamente, derivando:

a t = - 54 π 2 cos ⁡ 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 s :

a 2 = - 54 π 2 cos ⁡ 6 π + π 3 = - 266,5   m / s 2

Passo 5

d)

Comparando a fórmula dada, com a fórmula geral:

x = 6,0 m . c o s ⁡ ( 3 π r a d / s . t + π 3 r a d )

x = A c o s ( ω t + ϕ )

Da definição, sabemos que a constante de fase é ϕ = π 3 r a d .

Passo 6

e)

Bom, na fórmula existe o valor de ω . No caso, ela vale:

ω = 3 π r a d / s

Assim fica fácil achar o período:

ω = 2 π T → T = 2 π 3 π = 2 3 s

O período vale:

T = 2 3 s

Com isso, a frequência é dada por:

f = 1 T = 3 2 = 1,5   H z

Passo 7

f)

Calculado no item anterior:

T = 2 3 s

Resposta

a)

0

b)

- 48,97   m / s

c)

- 266,5   m / s 2

d)

π 3

e)

1,5   H z

f)

T = 2 3 s

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