Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Considere a quádrica de equação

x 2 - 2 x - y 2 - z 2 = 3

  1. Essa quádrica é um hiperboloide que corta o plano y z
  2. Uma parametrização da interseção da quádrica com o plano x = 5 é α t = 5,2 3 cos ⁡ t , 2 3 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
  3. Uma parametrização da interseção do plano z = 1 com a porção da quádrica no semi espaço x ≥ 1 é α t = 1 + 5 sec ⁡ t , 5 tg ⁡ t , 1 ,   - π 2 < t < π 2
  1. Todas as afirmações são verdadeiras
  2. As afirmações I e III são verdadeiras
  3. As afirmações II e III são verdadeiras
  4. As afirmações I e III são falsas
  5. As afirmações II e III são falsas

Passo 1

Vamos analisar cada uma das alternativas.

“Essa quádrica é um hiperboloide que corta o plano y z

Antes de mais nada, vamos lembrar rapidamente como é a equação geral de um hiperboloide.

De uma folha:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

De duas folhas:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

Agora vamos olhar pra equação da nossa quádrica:

x 2 - 2 x - y 2 - z 2 = 3

Como temos duas variáveis com sinal negativo, já podemos perceber que isso seria um hiperboloide de duas folhas. Beleza.

Arrumando um pouquinho melhor isso, podemos completar quadrados em x :

x - 1 2 - y 2 - z 2 = 3 + 1 = 4

Se repararmos, a equação geral do hiperboloide tem o lado direito igual a 1, então vamos dividir os dois lados por 4 :

x - 1 2 4 - y 2 4 - z 2 4 = 1

Trata-se portanto de um hiperboloide de duas folhas que está ao longo do eixo x , com centro em ( 1,0 , 0 ) .

Como ele tem uma cara mais ou menos como essa aqui:

Ele não pode estar cortando o plano y z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

“Uma parametrização da interseção da quádrica com o plano x = 5 é α t = 5,2 3 cos ⁡ t , 2 3 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Vamos substituir x = 5 na equação da quádrica:

x 2 - 2 x - y 2 - z 2 = 3

5 2 - 2.5 - y 2 - z 2 = 3

25 - 10 - y 2 - z 2 = 3

y 2 + z 2 = 12

Isso é a equação de uma circunferência no plano y z com centro na origem e raio 12 = 2 3 .

E a parametrização da circunferência é, de fato

y t , z t = ( 2 3 cos ⁡ t , 2 3 sen ⁡ t )

Mas, isso é só a projeção da curva no plano y z , né.

Na real a curva tá no espaço e a coordenada x ( t ) dela vale 5 , Porque afinal essa curva veio da interseção da quádrica com o plano x = 5 , beleza?

Então a parametrização da curva de interseção é, de fato

α t = 5,2 3 cos ⁡ t , 2 3 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Afirmativa II é verdadeira!!

Passo 3

“Uma parametrização da interseção do plano z = 1 com a porção da quádrica no semi espaço x ≥ 1 é α t = 1 + 5 sec ⁡ t , 5 tg ⁡ t , 1 ,   - π 2 < t < π 2

Agora vamos substituir z = 1 na equação da quádrica:

x 2 - 2 x - y 2 - z 2 = 3

x 2 - 2 x - y 2 - 1 2 = 3

x 2 - 2 x - y 2 = 4

Completando quadrados em x :

x - 1 2 - y 2 = 4 + 1 = 5

Dividindo ambos os lados por 5 :

x - 1 2 5 - y 2 5 = 1

E isso é uma hipérbole no plano x y , com centro em ( 1,0 ) .

E a parametrização da hipérbole é, de fato

x t , y t = ( 1 + 5 sec ⁡ t , 5 tg ⁡ t )

Mas, isso é só a projeção da curva no plano x y , né.

Na real, do mesmo modo que vimos antes, a curva tá no espaço e a coordenada z ( t ) dela vale 1 , Porque afinal essa curva veio da interseção da quádrica com o plano z = 1 , certo?

Então a parametrização da curva de interseção é, de fato

α t = 1 + 5 sec ⁡ t , 5 tg ⁡ t , 1 ,   - π 2 < t < π 2

Então a afirmativa III também é verdadeira!!

Resposta

Letra ( c )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas