Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Parametrização de curvas

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.
  2. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

Passo 1

a )

Vamos começar pela superfície S 1 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 1 x , y , z , que é a função da superfície S 1 jogando tudo para esquerda.

F 1 x , y , z = 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 - 4

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 1 x , y , z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gradiente vai ser

∇ F 1 = F 1 x , F 1 y , F 1 z

F 1 x = 0

F 1 y = 4.2 y - 2 = 8 y - 16

F 1 z = 3.2 z - 1 = 6 z - 6

O vetor normal vai ser

N 1 = 0,8 y - 8,6 z - 6

Passo 3

Vamos para a superfície S 2 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 2 x , y , z , que é a função da superfície S 2 jogando tudo para esquerda.

F 2 x , y , z = x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 - 3

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 2 x , y , z

Passo 4

O gradiente vai ser

∇ F 2 = F 2 x , F 2 y , F 2 z

F 2 x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

F 2 y = 2 x 3 y - 3 z

F 2 z = - 3 y - 4 z 3

O vetor normal vai ser

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Passo 5

b )

A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície S 1 não tem o valor de x , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é uma elipse

4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

4 y - 2 2 4 + 3 z - 1 2 4 = 1

y - 2 2 + z - 1 2 4 / 3 = 1

Lembra como é a parametrização da elipse?

y t = y 0 + a cos ⁡ t

z t = z 0 + b sen ⁡ t

Então, para esse caso

y t = 2 + cos ⁡ t

z t = 1 + 4 3 sen ⁡ t = 1 + 2 3 sen ⁡ t

Como ele faz a volta completa

t ∈ 0,2 π

Mas e agora como parametrizamos o valor de x ? Vamos usar a outra equação.

Passo 6

Primeiro temos que isolar o x na segunda superfícies

x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 = 3 y z + z 4 + 3

x 3 = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1

x = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1 3

Ok, agora temos uma expressão de x dependendo só de y e z , o que temos que fazer agora é trocar os valores de y e z da parametrização que fizemos ali em cima.

x t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3

Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.

A parametrização vai ficar

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com t ∈ 0,2 π

Resposta

  1. N 1 = 0,8 y - 16 , 6 z - 6 e N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3
  2. α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com t ∈ 0,2 π

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